A new refinement allowing infinite-order degeneration and explosion of weighted classical inequalities and its application to variational problems

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「重み付き古典的不等式の無限次退化や爆発を許容する新しい精密化と変分問題への応用」を中心課題とし、重み付き古典的不等式を介して有機的に関連する次の４つの研究目的を設定しているので、それぞれの研究目的に関する研究実績の概要を記述する。1.領域の境界で無限次退化や爆発を許容する重み付き Hardy 不等式の確立と精密化の研究：今年度は,高次元の場合に一般の重みに対して片側境界条件の下でHardy不等式を構築した。この場合にも重み関数が無限次の退化や爆発が許されることが証明された。それら結果は論文として纏められ既に発表されている。2.領域の境界で無限次退化や爆発をする非線形楕円型作用素に関する変分問題の研究：1の結果可能になった研究であり、優臨界の場合を含む変分問題が研究された。その結果は学会等で発表され、論文は査読中である。3.Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式の新しい精密化の研究：前年度において,1次元の場合に無限次の退化や爆発を許す場合にCaffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式が成立することが示されたことを受け、それらを高次元の場合に拡張する研究が行われた。その結果、無限次の退化や爆発を許す場合に不等式が成立するための必要十分条件が求められ、その結果が論文として発表された。また、p=1の場合と最良定数の達成可能性の研究が進行中である。4.加藤の不等式の新しい精密化とその強最大値原理への応用の研究：これまでの研究で「準線形作用素に対して境界まで込めた加藤の不等式」が確立されているので、重み付きの場合への拡張や最大値原理への応用を引き続き研究された。さらに、一般のレリッヒ型の不等式の研究が開始された。