退化楕円型方程式に関する諸問題の研究

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次に諸問題が重点的に研究されましたので概要を報告いたします。1.境界下で退化の仕方が一様でない場合に、混合問題の可解性と解の正則性。この問題に関しては、境界の一部分で退化が起こり退化の仕方が一様でない場合に、その作用素に対するノイマン型境界値問題の可解性及び固有値問題を中心に研究されその結果の一部は既に公表される予定である。具体的には、混合型境界値問題の局所的な基本解(グリーン関数)を構成し、それらを精密に評価し、古典解の存在と一意性及びその正則性の研究を通じて退化の効果を調べられた。要約すれば、適切な重み付きヘルダー空間を利用することにより、退化楕円型方程式の解をとらえることができ、今後Lp評価等を併用することにより非線形問題にも応用が可能であることが示された。2.退化楕円型方程式において、クリティカル増大度を持つ非線形項項を含む場合の解の存在と正則性を研究。特に変分問題との関係を研究する。この問題に関しては、特に重み付きソボレフの不等式との関連して方程式がソボレフの意味でクリティカル増大度を持つ非線形項項を含む場合の解の存在と正則性を中心に研究された。特に重みが1点からの距離のべきである場合に、いわゆるソボレフのベストコンスタントが重みのべきに関して不連続であることを含め、その他いろいろ興味深い結果が出ているが、まだまとめる段階にまでは至っていないと思われる。3.その他の問題(1)退化楕円型方程式の弱解の一意存在と正則性の研究及び退化作用素のスペクトル回析。(2)実対称行列の上の退化楕円型作用素に対するポテンシャル理論の構成。(3)作用素環への応用(4)スペクトル理論の代数的側面、等が研究されて一応の成果をあげている。今後は特に2.の問題において、クリティカルな状況での解の有界性と正則性の研究を中心に、上に挙げた様々な退化楕円型作用素に関する基本問題の解析を通じ、できるだけ明快な一般論の構築を目指す予定である。