楕円型偏微分方程式の解の対称性と非対称性

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1. 2階常微分方程式の1種であるMoore-Nehari 微分方程式の境界値問題において, 零点を持つ解の研究を行った. 区間(-1,1)において両端で 0ディリクレ境界条件を満たす解の存在についての研究である. 解の対称性と非対称性に注目し, 指定された個数の零点を持つ解であり, 対称な解と非対称な解の存在を証明した. 従来では, (-1,1)区間における零点の個数を指定し, そのような零点の個数を持つ解の存在を証明する結果が主流であった. しかし, 本研究では, さらに詳しく, 与えられた自然数の組(m,n)に対して, 区間(-1,0)における零点の個数がm個であり, 区間(0,1)における零点の個数がnであるような解の存在を証明している. これは, 従来知られている結果よりも強い結果をもたらしている. この結果によって, 解の詳しい性質が調べられる. この結果は解空間が非常に複雑であることを意味する. 従来では, 区間(-1,1)に指定された個数の零点を持つ解の存在に関する研究がほとんどであり, 私の研究のような結果はなかった. 従って, 本研究はきわめて独創的な研究であり, 解空間の多様性を表すものである.2. バナッハ空間において, Symmetric mountain pass lemma を適用すると, 非有界な臨界値の列が存在することが証明できる. この臨界値に対応する臨界点の列も非有界になるかという問題が考えられる. この問題に対して, 可分で無限次元のヒルベルト空間において, 汎関数に対して, 臨界値は非有界であるが, 臨界点の集合は有界になるような汎関数の例を作った. 従って, Symmetric mountain pass lemma から得られる臨界値に対して, 対応する臨界点の集合は一般に非有界とは限らないことを明らかにした.