非線形楕円型方程式の解の構造の研究

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ラプラス作用素と非線形項から成る半線形楕円型方程式をn次元ユークリッド空間において考える。このとき球対称解の存在とその漸近挙動についての詳しい結果が得られた。1.非線形項がf(u)=|u|^<p-1>u(|u|^<p-1>u(|u|【greater than or equal】1),=|u|^<q-1>u(|u|<1),(1<p<(n+2)/(n-2)<q)の形をしている場合を研究した。このとき、すべての球対称解は|x|→∞のとき(i)c|x|^<-(n-2)>または(ii)±c^*|x|^<-2/(q-1)>の様に減衰することが解った。さらに任意の非負整数kに対して0【less than or equal】|x|<∞に、ちょうどk個の零点を持ち(i)の様に減衰する解と(ii)の様に減衰する解の両方が存在する。この結果は、J.Differential Equationsに発表した。2.上記の非線形項よりさらに一般的な非線形項を扱い半線形楕円型方程式のディリクレ問題をn次元の球、円環領域、球の外部、R^nにおいて研究した。このとき任意の非負整数kに対してちょうどk個の零点を持つ球対称解の存在を証明した。この結果は球対称解が存在するための非線形項に対する、従来知られていた十分条件を緩くしている。Adv.Math.Sci.Appl.に発表予定である。3.今後は解の一意性に関する問題(kを任意に固定するとき、ちょうどk個の零点を持つ球対称解はただ一つか)について研究する予定である。また非対称解が少なくとも一つ存在するか、無限に多く存在するか、さらに解空間の構造はどのようなものかということについて調べる予定である。