Study for nonlinear partial differential equation with Sobolev critical/supercritical nonlinearity

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今年度は、主に浜野大氏(早稲田大)と渡邉南氏(津田塾大)との共同研究で、空間3次元で3次と5次のべき乗型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動について調べた。この方程式には、基底状態と呼ばれる重要な定常解がある。この方程式の解で、対応するエネルギー汎関数の値が基底状態のそれよりも小さいものについては、ある時刻で爆発するか、線形の解に近づくような2種類の解があることが既に分かっている。そこで、Threshold solutionという、基底状態と同じエネルギー汎関数の値を持つ解について調べた。この場合は、上記の結果とは異なり、正の方向の時刻無限大で基底状態に漸近して、負の方向の時刻無限大で爆発する解や線形の解に近づくような解があることが分かった。このような結果は単純ベキの非線形項においては、既にDuycaerts-Merle (2009), Duycaerts-Roudenko(2010)により得られているが、彼らの手法では、２重ベキの非線形項に対しては直ちに適用することは困難であるように思われる。ここでは、Nakanishi-Schlag(2010)によるone-pass theoremを用いることでこの困難を克服することが出来た。また、二重ベキの非線形シュレディンガー方程式の基底状態の一意性については、ある場合においては、Coles-Gustfson(2020)により得られているが、ここでは、彼らの手法とAkahori-Ibrahim-Ikoma-Kikuchi-Nawa(2019)の手法を組み合わせることで直接的な証明を与えることが出来た。さらには、4階非線形シュレディンガー方程式の基底状態の存在についてである。ここでは、エネルギー臨界の増大度を持つ一般的な非線形項に対して、基底状態が存在することが分かった。