Analysis of propagation phenomena and singularity of the logarithmic diffusion equation

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放物型方程式の「全域解」とは任意の時刻で定義されている解である．放物型方程式は，情報散逸が伴うため，一般には負の時間方向には解けない．そのため，全域解は過去の情報を完全に含有する貴重な解である．全域解の分類作業は，非線形放物型方程式の漸近挙動を調べる強力な指針を与える．東京工業大学の柳田英二氏，大阪公立大学の物部治徳氏と，単安定の反応項をもつ対数拡散方程式の無限遠で指数的なオーダーで減衰する任意の解の挙動を完全に分類し，それらの解の漸近挙動について精密に解析した．我々はスツルムの交点数理論を用いて「全域解」の分類に関するLiouville型定理を確立し，極限集合の構造から解のダイナミクスを特徴付けるいう無限次元力学系の観点から解析を行った．論文は学術誌に掲載された(Indiana Univ. Math. Journal 71, 2022)．昨年度，研究代表者はJong-Shenq-Guo教授(Tamkang大学)と，エネルギー構造があるが比較原理が使えないような連立系の反応拡散方程式に対して，定数定常解に関わる，全域解の一般的なLiouville型定理を確立した．応用としてたとえばDucrot-Giletti-Matano(2019)らの研究で未解決になっていた，拡散係数が一般の場合の，反応拡散方程式の伝播現象の漸近挙動の問題に決着をつけた．本年度，我々はより一般の異常拡散をもつ連立放物型方程式に対してもLiouville型定理を拡張することで，分数階拡散方程式の伝播現象の漸近挙動を解明した．論文は学術誌に掲載された(Applied Math. Letters vol 133, 2022)．分数階拡散方程式では，拡散を記述する積分核が代数的なオーダーで空間減衰する．我々は指数的な減衰をする積分核に対する非局所拡散方程式に対しても，Liouville型定理を拡張している．