閉曲面上のグラフの生成定理と局所変形理論の融合的研究

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閉曲面上の偶三角形分割とは各頂点の次数が偶数であるような三角形分割のことである．偶三角形分割に対してその性質を保存するような局所変形がいくらか定義され，それらによって移りあうグラフを分類するという研究が存在する．特に，P-splittingとP-contractionと呼ばれる変形を用いると「有限個の例外グラフを除き，閉曲面F2上の任意の2つの3-染色的三角形分割はそれらの変形で互いに移りあう」という事実が示されている．（3-染色的三角形分割は偶三角形分割である．）上記の有限個の例外を，例外的3-染色的三角形分割と呼ぶが，種数の小さい閉曲面に対してそれらのグラフが実際にどのくらい存在するのかを考え，オイラー標数-8の閉曲面に対して，K_{5,5,5}から6-閉路に対応する辺を除いたものが唯一の例外的3-染色的三角形分割であることを示すことに成功した．（これより種数の小さい閉曲面に対しては，例外的3-染色的三角形分割が完全に決定されているが，そこで得られたグラフは全て完全3部グラフになっている．）完全3部グラフが閉曲面に三角形分割として埋め込み可能であれば，定義より必ず例外的になっている．向き付け可能な閉曲面に対してはWhiteの結果，向き付け不可能な閉曲面に対してはEllingham等の結果より，完全3部グラフの種数が示されており，三角形分割可能なものもその結果から直ちに得ることが可能である．つまり，任意の自然数Nに対して，種数N以上の閉曲面F2で例外的3-染色的三角形分割を認めるものが存在することになる．この事実自体は簡単なものであるが，「（オイラー標数-8の閉曲面上の議論で得られたグラフのように）完全3部グラフではない例外的3-染色的三角形分割が種数に対してどのくらいの頻度で登場するのか？」という問題や，それらのグラフの構造を明らかにすべく研究を継続する．