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Geometric approach to the extendability of linear codes and optimal linear codes

线性码可扩展性的几何方法和最优线性码

基本信息

批准号：
20K03722
负责人：
丸田辰哉
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Osaka Metropolitan University (2022)Osaka Prefecture University (2020-2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

q 元体（q 個の元から成る有限体）F_q 上の長さ（符号長） n, 次元 k, 最小重み d の線形符号（[n,k,d]q 符号）が存在する限界を決定する問題は、符号理論において最も基本的な研究課題の一つであり、最適線形符号問題（Optimal Linear Codes Problem）と呼ばれる。符号の誤り訂正限界を求めるには、[n,k,d]q 符号が存在するような最小重み d の最大値 d_q(k,d) を求めれば良いが、これは [n,k,d]q 符号が存在するような長さ n の最小値 n_q(k,d) を求める問題と等価である。線形符号が拡張可能であるための条件を射影幾何の手法を用いて新たに求め、その研究によって得られた知見を活用して最適な線形符号がもつ長さの最小値を確定したり、まだ発見されていない最適な線形符号のコンピュータによる探索や構造解析等を通して、最適線形符号問題の解決を目指すのが本研究の主目的である。本年度は、主に３元体上の線形符号と q元体上の４次元線形符号の最適線形符号問題（n_3(k,d) と n_q(4,d) の決定問題）について取り組み、最小重み d が 9 を法として -2 である場合の新たな拡張定理を適用した３元線形符号の非存在証明や、符号語の重みが 16 を法として４種類しかない場合の新たな拡張定理を求めた。３元線形符号については、Griesmer 限界に達する符号が存在しないような最小重み d の最大値を求める問題にも取り組み、我々が提起した予想式について、９次元まで正しいことを証明することができた。これらの成果については、それぞれ国際学術雑誌に発表した。更に、一般の有限体上の５次元線形符号の存在限界について、韓国の研究者と共同研究を開始し、２月に招聘して今後の研究の方向性について打合せを行った。

q element body (q elements become finite body) F_q length (symbol length) n, dimension k, minimum weight d linear symbol ([n,k,d]q symbol) to determine the existence limit problem, symbol theory in the most basic research topics, Optimal Linear codes Problem and call. The symbol error correction limit is found in,[n,k,d]q. The symbol exists in,[n,k,d]q. The minimum value of d is found in. The conditions of linear symbol expansion are discussed. The method of projective geometry is used to find new solutions. The main purpose of this study is to determine the minimum value of the optimal linear symbol length. This year, the linear symbols on the 3-dimensional body and the 4-dimensional linear symbols on the q-dimensional body are the most suitable linear symbols.(n_3 (k,d) n_q(4,d)) 3-dimensional linear symbol, Griesmer limit, reach, sign, existence, minimum weight, maximum value, problem, group, I, raise, give, give The results of this study were published in the international academic journal. In addition, the existence limit of 5-dimensional linear symbols on general finite bodies, Korean researchers and joint research began in February, and the direction of future research was recruited.