曲面・曲線からなる曲率流に対する近似アルゴリズムとそれを用いた広義解の性質の研究

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石井は Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。4 階熱方程式や 2 階の導関数をもつ 4 階線形放物型方程式の解を用いて閾値型近似アルゴリズムを構成した後、解の挙動を詳しく調べることによって、その解を用いて得られる閾値集合の性質がかなり精密な形で得られた。また、その境界近傍での解の勾配評価や第 2 次偏導関数の詳しい評価を導した。更に、法線方向速度に関しても時間変数についてのオーダーを評価した。これらの結果を用いて最初の 1 ステップだけではあるが、閾値集合の境界が Willmore 流の近似になっていることを示した。そのときの剰余項も評価した。高坂は曲面の表面積 (曲線の場合はその長さ) が一定という条件が課された Willmore 流に対して、4 階線形放物型方程式を用いた閾値型近似アルゴリズムの研究を行っている。平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムとは異なり、比較原理や順序保存性が成り立たないので、このアルゴリズムにうまく適合したエネルギー汎関数を定義し、それを用いることでアルゴリズムの収束を証明する必要がある。そこで、閾値集合を定義する関数を基にしたエネルギー汎関数を定義し、その性質等を研究を進めている。上田は時間遅れの項をもつ常微分方程式系に対して今までに知られていない漸近安定性に関する条件を導き、人口移動や神経回路網に現れる時間遅れの項をもつ常微分方程式系に応用し、解の安定性を得た。時間遅れの項をもつ Burgers 方程式に対する時間大域解の存在とその漸近挙動を研究した。