ニューロンの発火現象に伴って発生するパルス解の時空間パターンの数理解析

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研究課題1ではパルス解の集団運動に対する中心多様体縮約理論の確立を目標としている。目標達成には、以前の研究における基底空間を修正する必要がある。具体的には、方程式の特殊性を考慮して方程式に含まれるデルタ関数の一部を消去し、L2空間を基底空間として取るのである。しかしながらデルタ関数の影響が一部に残存しているため、既存の中心多様体論を修正無しに適用することはできない。そこで、樟脳船に関するモデル方程式を改めて取り上げ、デルタ関数を含む系における中心多様体縮約理論をL2空間で構成することを目標とし、これに成功した。この結果では、樟脳濃度の挙動を表す関数を事前に構成することが手掛かりであったが、系の線形性により可能となった。FHN方程式にもこの線形性が存在するため、本研究結果が適用可能と考えられる。この結果をまとめた論文が学術雑誌に受理され、既に出版済みである。実は、縮約方程式が以前よりも詳細な情報を有するため、樟脳粒の集団運動に現れるクラスターの特徴付けが可能となった。さらに、研究課題で本来対象としたFHN方程式に対しても同手法が適用可能であることも形式的には確認済みである。研究課題2については、パルスの位置を表す関数が満たす時間遅れ項付き微分方程式における時間周期解の存在を保証することが当初の目標である。既存の理論により時間周期解が存在することを保証した結果を既に得ている。この結果をまとめた論文が学術雑誌に受理され、既に出版済みである。一方、時間遅れパラメータを固定した上で抑制的な相互作用パラメータだけに注目するとノコギリ型の時間周期解が現れる。この解はいわゆる特異摂動解として特徴づけられるため、時間遅れ方程式における特異摂動法が必要となる。現在、この解の構成する解析を進めている。