Geometry of the space of all variations of mixed Hodge structure over complex manifolds

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本年度は複素多様体Mをパラメーターとする混合ホッジ構造の変動全体のカテゴリーあるいはモジュライ空間に非可換混合ホッジ構造と呼ばれ る構造を定め、多様体Mの幾何学的性質を用いてその構造の詳細を研究する。Simpson、望月等によって構築されたPoly-Stableなヒッグスバン ドルとSemi-Simpleな平坦ベクトルバンドルをPluri-Harmonic(あるいはHermitian-Einstein)計量によって特徴付ける純粋な非可換ホッジ理論 を用いて、純粋なホッジ構造の変動全体のテンソルカテゴリーに純粋な非可換ホッジ構造を定め、純粋なホッジ構造の変動全体に値を取るようなDe Rham-Dolbeault Double Complexにテンソル構造から定まるDifferential Graded AlgebraのHodge理論を定式化し、そのSullivan Minimal Model上 のMorganの混合ホッジ構造を構成できるようになった.前年度に構築したコンパクト佐々木多様体上の非可換ホッジ対応を応用して, 第一BasicChern類が負かつMiyaoka-Yau型の不等式が等式となるコンパクト佐々木多様体のUniformizationを証明した。この結果はSimpsonやHitchin等によるUniformizationのHiggs束による構成の佐々木多様体版であると同時にGeigesやBelgunによって与えられた３次元コンパクト佐々木多様体の分類のある種の高次元版と考えることができる。