優臨界・臨界・劣臨界楕円型方程式の解構造の総合的研究

综合研究超临界、临界和亚临界椭圆方程的解结构

• 批准号: 19H01797
• 负责人: 宮本 安人
• 金额: $ 10.9万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19H01797/
• 关键词: 優臨界楕円型方程式; 臨界楕円型方程式; 放物型方程式; 変分的手法; モース指数; 球対称解; ジョセフ・ルンドグレン指数; 擬スケール; 非線形楕円型方程式; 非線形放物型方程式; 優臨界; 臨界; 劣臨界; 特異解; 変分問題; 時間局所可解性; 変分法; 劣臨界楕円型方程式

(1)[臨界楕円型方程式] 今年度の一番大きな成果は，臨界楕円型方程式の研究であった．具体的な問題は次のとおりである．3次元以上の円環領域における臨界楕円型方程式（Henon方程式）のディリクレ問題の（符号変化解を含む）任意の球対称解を考える．まず，球領域の場合は，Pohozaevの恒等式より正値解が存在しないことが知られている．一方，円環領域の場合は正値解が存在するので，円環の内側の半径を０にする極限が興味深い問題となる．そこで，（正値解に限らない）任意の球対称解のモース指数が，内側の半径を０にする極限でどのようになるかを考察した．この問題のパラメータは，空間次元，方程式の指数，円環の内側と外側の半径，符号変化解の結節領域の数があるが，主結果はこれらのパラメータを用いて極限における解のモース指数を完全に決定した．また，極限を取らない場合（一般の円環領域の場合）は，モース指数の上からと下からの評価を得た．さらに，正値解の場合は，（極限を取らなくても）任意の円環領域でモース指数を決定した．この方面の研究はイタリアのグループが精力的に進めているが，これまで劣臨界の問題が多く扱われ臨界の場合は知られていなかった．(2)[劣臨界楕円型方程式] 円環領域における劣臨界楕円型方程式の球対称解のモース指数に関して，実現可能性が高い研究テーマを発見した．(3)[放物型方程式] 指数関数より大きい増大度を持つ放物型方程式の全領域における初期値問題を考える．非線形項に関する適当な仮定の下で正値特異球対称解を持つが，初期関数がこの正値特異球対称解より大きいか小さいかに応じて，放物型方程式の可解性が異なることを示すことが目標である．このうち，解の存在に関して証明が成功した．今後は非存在の証明を目標とする．そして，特異解が可解性の閾値となっていることを証明したい．

(1)[Critical Oval Equation] This year, we will make a major な な achievement <e:1>, and the research on critical oval equations であった. The specific な problem な is next to とお とお である である. The における critical oval-shaped equation (Henon equation) in the field of 3d-dimensional and above spherical spheres, the ディリ and レ problems, the <s:1> (sign transformation solution を containing む), and the を symmetrical solution of any ball を test える. Youdaoplaceholder0, in the field of balls, in <s:1> situations まず, the Pohozaev <s:1> identity よ and the positive solution が of が exist in <s:1> な とが とが とが and られて る る. On the one hand, in the domain of the annular ring, in <s:1> situations, the <s:1> positive solution が exists the する <s:1> で で で, the <s:1> radius of the inner side of the annular ring を0にする limit が is of great interest to the となる problem となる. (direct numerical solution に そ こ で, limit ら な い) arbitrary の ball said seaborne の モ ー が ス index, radius of the medial の を 0 に す る limit で ど の よ う に な る か を investigation し た. こ の problem の パ ラ メ ー タ は, dimensional space, the equation is の index, ring has drifted back towards &yen; の の radius, medial と lateral symbols - の の nodules field several が あ る が, main results は こ れ ら の パ ラ メ ー タ を with い て limit に お け る solution の モ ー ス index を に decided to completely し た. ま た, limit を ら な い occasions (generally の has drifted back towards &yen; の ring field) は, モ ー ス index の か ら と under か ら の review 価 を た. Youdaoplaceholder0, positive solution さらに, (limit を is taken as らなくて らなくて) any <s:1> ring field でモ を ス exponent を determines た た. こ の の research は イ タ リ ア の グ ル ー プ が energy に into め て い る が, こ れ ま で inferior critical の question が く Cha わ れ critical の occasions は know ら れ て い な か っ た. Equation (2) [inferior critical 楕 has drifted back towards &yen; type] has drifted back towards &yen; ring field に お け る inferior critical 楕 has drifted back towards &yen; の type equation is の ball said seaborne solution モ ー ス index に masato し て, be high possibility が い study テ ー マ を 発 see し た. Put content type (3) [equations] index number of masato よ り big き い raised magnanimous を hold つ put content type equation is の full-scope に お け る early numerical problem を exam え る. Nonlinear item に masato す る appropriate な 仮 under fixed の で are numerical ex ball said solution を seaborne hold つ が, number of initial masato が こ の is nt specific ball said solution seaborne よ り big き い か small さ い か に 応 じ て, put content type equation is の solvability が different な る こ と を shown す こ と が target で あ る. Youdaoplaceholder2 うち うち, there is a に relationship in solving うち. Youdaoplaceholder2 proves が success. Youdaoplaceholder4 た. In the future, there will be no <s:1> proof of を objective とする. Youdaoplaceholder0 て て, specific solution が solvability threshold となって る る とを とを prove た た た.

项目成果

Existence, uniqueness and convergence of the singular radial solution for supercritical semilinear elliptic equations

超临界半线性椭圆方程奇异径向解的存在唯一性及收敛性

• 发表时间: 2019
• 作者: Yasuhito Miyamoto;Marius Ghergu;生駒典久;Yasuhito Miyamoto;森 竜樹，久藤 衡介，宮本 安人，辻川 亨，四ツ谷 晶二;宮本安人;宮本安人;宮本安人
• 通讯作者: 宮本安人

Threshold solutions for semilinear heat equations with polynomial decay initial data

具有多项式衰减初始数据的半线性热方程的阈值解

• 发表时间: 2019
• 作者: Yasuhito Miyamoto;Marius Ghergu;生駒典久;Yasuhito Miyamoto;森 竜樹，久藤 衡介，宮本 安人，辻川 亨，四ツ谷 晶二;宮本安人;宮本安人;宮本安人;宮本安人，Theo Giraudon;内藤 雄基;Yuki Naito
• 通讯作者: Yuki Naito

Blow-up criteria for the simplest Keller-Segel model of chemotaxis in higher dimensions

高维趋化性最简单 Keller-Segel 模型的放大标准

• 发表时间: 2019
• 作者: 内藤 雄基;仙葉 隆;Yuki Naito;Yuki Naito
• 通讯作者: Yuki Naito

Singular solution for semilinear elliptic equations with general supercritical growth

一般超临界增长半线性椭圆方程的奇异解

• 发表时间: 2022
• 作者: Norihisa Ikoma;Andrea Malchiodi and Andrea Mondino;宮本安人;植田優基;Kouji Yano;宮本安人，内藤雄基
• 通讯作者: 宮本安人，内藤雄基

Solvability for time-fractional smiilinear parabolic equations with singular initial data

具有奇异初始数据的时间分数式半线性抛物型方程的可解性

• 发表时间: 2022
• 作者: Yasuhito Miyamoto;Marius Ghergu;Masamitsu Suzuki
• 通讯作者: Masamitsu Suzuki