物理・化学・生物学に現れるモデル方程式の無限次元力学系の視点による解析

化学や生物学に現れる,活性因子・抑制因子系と呼ぶにふさわしい方程式系の条件を定義し,その方程式系が非定数の安定定常解をもつ場合に,その安定解は,領域か2次元球領域のとき,どのような形状になるかを主に研究した(次ページの論文).ここで定義した方程式系は,shadow Gierer-Meinhardt系や,FitzHugh-Nagumo型の非線形項を持つshadow systemなど,歴史的によく研究されている方程式系を含むので,今まで知られている結果の一般化となっている.この研究の過程で,1974年にJ.Rauchによって提唱されたホットスポット予想の非線形版ともいうべき新たな予想を発見し,この予想を円盤領域のときのみ解決した.活性因子・抑制因子系の安定定常解の形状に関する問題は,円盤領域(2次元球領域)に限られるが,この研究で終止符が打たれたと言ってよいと思われる.次に,活性因子・抑制因子系の定常解として現れる,(1パラーメータを含む)楕円型編微分方程式の解の構造(分岐図式)について研究した.楕円型編微分方程式はDirichlet境界条件,もしくは1次元の場合は,ここ40年ほど研究されており,非常に多くの結果が知れれているが,多次元領域かつNeumann境界条件の場合は,Dirichlet問題のときに使われた数学的な手法が使えないために,矩形領域を除いて全くと言っていいほど研究されていなかった.そこで,これまでに知られていた手法ではあるが,注目されていなかった手法(零等高面の方法)を用いて,円盤領域に限られるが,第2と第3固有値から分岐する枝が,大域的に伸びることを証明した.この零等高面の方法は,他の問題の解析にも有効だと考えられ,どのような問題に使用できるか模索中である.

化学や生物学に現れる,活性因子・抑制因子系と呼ぶにふさわしい方程式系の条件を定義し,その方程式系が非定数の安定定常解をもつ場合に,その安定解は,領域か2次元球領域のとき,どのような形状になるかを主に研究した(次ページの論文).ここで定義した方程式系は,shadow Gierer-Meinhardt系や,FitzHugh-Nagumo型の非線形項を持つshadow systemなど,歴史的によく研究されている方程式系を含むので,今まで知られている結果の一般化となっている.この研究の過程で,1974年にJ.Rauchによって提唱されたホットスポット予想の非線形版ともいうべき新たな予想を発見し,この予想を円盤領域のときのみ解決した.活性因子・抑制因子系の安定定常解の形状に関する問題は,円盤領域(2次元球領域)に限られるが,この研究で終止符が打たれたと言ってよいと思われる.次に,活性因子・抑制因子系の定常解として現れる,(1パラーメータを含む)楕円型編微分方程式の解の構造(分岐図式)について研究した.楕円型編微分方程式はDirichlet境界条件,もしくは1次元の場合は,ここ40年ほど研究されており,非常に多くの結果が知れれているが,多次元領域かつNeumann境界条件の場合は,Dirichlet問題のときに使われた数学的な手法が使えないために,矩形領域を除いて全くと言っていいほど研究されていなかった.そこで,これまでに知られていた手法ではあるが,注目されていなかった手法(零等高面の方法)を用いて,円盤領域に限られるが,第2と第3固有値から分岐する枝が,大域的に伸びることを証明した.この零等高面の方法は,他の問題の解析にも有効だと考えられ,どのような問題に使用できるか模索中である.