Kernel principal component analysis in high dimension, low sample size and its applications

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カーネル主成分分析は非線形性を抽出するための次元圧縮手法として広く知られている。本研究では高次元データの非線形構造を調査するために、高次元小標本におけるカーネル主成分分析を調査した。高次元小標本におけるカーネル法は明らかにされていない性質が多々あり、本研究はそれらの性質を与える先駆的結果である。本研究ではカーネル主成分分析の応用法としてクラスタリングについて調査した。カーネル主成分スコアの漸近的性質を与えることで2つのクラスタを完全に分離するための正則条件を導出し、クラスタリング手法を提案した。特に、線形カーネルとしばしば使われるガウシアンカーネルを使った場合の正則条件を比較することで非線形性に関する理論的な比較を与えた。クラスタリングの性能はガウシアンカーネルに含まれる尺度パラメータに強く依存し，選択次第でクラスタリングの精度は悪くなってしまう。そこで、尺度パラメータの事前選択法も提案した。計算コストが膨大な高次元データ解析において、この提案手法は理論的かつ高速な選択法である。ここまでの結果を、クラスタ数が3個あるカーネル関数族に対する一般化を行なった。本研究で用いた解析方法はカーネル法を用いる他の手法への応用も期待できる。本研究の結果を与える上で重要となる線形性やカーネル条件に関する研究も2本の査読あり論文の掲載が決定している。筑波大学の青嶋教授と矢田准教授との共同研究はABRAHAM WALD PRIZE in Sequential Analysis 2019で共同受賞している。