Distribution of ideals over number fields and Diophantine equations

理想在数域和丢番图方程上的分布

• 批准号: 19J10705
• 负责人: 武田 渉
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-25 至 2021-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J10705/
• 关键词: Diophantus方程式; Brocard-Ramanujan問題; Erdos最終方程式; Manin予想; 代数多様体; 素イデアル分布; Bertrand-Chebyshv型評価

本年度は昨年度に引き続きBrocard-Ramanujan問題に関する研究を行った. 具体的には左辺の多項式を代数体のノルムフォームに変えた場合も同様に解の有限性を得ることを示した. 解の有限性に関しては証明方法が同じであるため, これまでの研究成果と同様に解の存在しない範囲を特定することもできている. ここで, 1変数多項式のBrocard-Ramanujan問題はOesterle-Masser予想の仮定の下で, 解の有限性が知られているが, 実際に解の存在しない範囲を明示的に得ることが難しいことが知られている. つまり, Oesterle-Masser予想の仮定下では消えてしまう情報を使うことで, より精密な結果を得ることに成功したともいえる.また, Erdos最終方程式のある種の解についての研究も行った. この問題はある性質を満たす解の各整数における存在を問うものである. 本研究では解となる十分条件を新たに与えることにより, 2019年に発表された成果を大幅に拡張した. その条件を満たさない数に関しても個別に考察し, 100パーセントの整数に対して解の存在を証明した.そして, 新たに代数多様体の有理点の数え上げに関する研究を始めた. 本年度は, ある4次元超平面の反標準的高さに関する有理点の数を計算した. 本研究はManin予想と呼ばれるほとんどすべての代数多様体で未解決な問題と強く関連している. 実際に, ある3次元超平面に関する先行研究はそれらに関するManin予想の解決につながっている. 本年度までの研究では論文にするには至っていないが, 結果を高次元に一般化することや精密化することは今後の研究課題である.

This year's research was conducted on the Brocard-Ramanujan problem. The concrete case of the left side of the algebra is the finite solution. The finiteness of the solution is related to the proof method. The Brocard-Ramanujan problem of one-dimensional polynomials is an Oesterle-Masser problem, in which finite solutions exist and explicit solutions exist.つまり, Oesterle-Masser予想の仮定下では消えてしまう信息を使うことで, より精密な结果を得ることに成功したともいえる. Erdos final equations and solutions are studied. The nature of the problem is to solve the problem of the integer. This study is based on the new conditions, and the results of the study in 2019 are greatly expanded. The conditions for the existence of integer solutions are investigated individually, and the existence of integer solutions for 100 is proved. A study on the rational points of algebraic multibodies has begun. This year, the number of rational points in the 4-dimensional hyperplane is calculated. In this paper, we propose to solve the unsolved problems of algebraic multiplicities and strong correlations. In fact, the 3-dimensional hyperplane is related to the advance study of Manin's solution. This year's research paper will be published in the future, and the results will be generalized in higher dimensions.

项目成果

ある4次超曲面の有理点の数え上げについて

计算某第四超曲面的有理点

• 发表时间: 2020
• 作者: Sumetee Liswadiratanakul;Michel Ouyabe;Hideki Hinomizu;Kanako Takada;Hidehiko Kikuno;Pachakkil Babil and Hironobu Shiwachi;Takeda Wataru;Takeda Wataru;Wataru Takeda;Takeda Wataru;Takeda Wataru;Takeda Wataru;武田 渉;武田 渉;武田 渉;Wataru Takeda;武田 渉
• 通讯作者: 武田 渉

Transcendence of values of the iterated exponential function at algebraic points

迭代指数函数值在代数点处的超越

• 发表时间: 2023
• 期刊: Journal of Integer Sequences
• 影响因子: 0.5
• 作者: Hirotaka Kobayashi; Kota Saito;Takeda Wataru
• 通讯作者: Takeda Wataru

On the finiteness of solutions of polynomial-factorial Diophantine equations

多项式阶乘丢番图方程解的有限性

• 发表时间: 2019
• 作者: Sumetee Liswadiratanakul;Michel Ouyabe;Hideki Hinomizu;Kanako Takada;Hidehiko Kikuno;Pachakkil Babil and Hironobu Shiwachi;Takeda Wataru;Takeda Wataru;Wataru Takeda;Takeda Wataru;Takeda Wataru;Takeda Wataru;武田 渉;武田 渉;武田 渉;Wataru Takeda;武田 渉;Wataru Takeda;Wataru Takeda;武田 渉;武田 渉;武田 渉
• 通讯作者: 武田 渉

斉次多項式に対するBrocard-Ramanujan問題について

关于齐次多项式的 Brocard-Ramanujan 问题

• 发表时间: 2019
• 作者: Sumetee Liswadiratanakul;Michel Ouyabe;Hideki Hinomizu;Kanako Takada;Hidehiko Kikuno;Pachakkil Babil and Hironobu Shiwachi;Takeda Wataru;Takeda Wataru;Wataru Takeda;Takeda Wataru;Takeda Wataru;Takeda Wataru;武田 渉;武田 渉;武田 渉;Wataru Takeda;武田 渉;Wataru Takeda;Wataru Takeda;武田 渉;武田 渉;武田 渉;Wataru Takeda;武田 渉;武田 渉;Wataru Takeda;Wataru Takeda;Wataru Takeda;武田 渉
• 通讯作者: 武田 渉

On the finiteness of solutions for polynomial-factorial Diophantine equations

• DOI: 10.1515/forum-2020-0138
• 发表时间: 2019-03
• 期刊: Forum Mathematicum
• 影响因子: 0.8
• 作者: Wataru Takeda