A study on Diophantine problems via combinatorial methods

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本年度, 主に行った不定方程式の研究は階乗積が階乗積と等しくなる組についてである. これは複数の階乗の積が1つの階乗と等しくなる組を与えるSuranyi-Hickerson予想の一般化であり, 未解決な問題を大きな枠組みでとらえたものとなる. 成果として, 階乗がガンマ関数で補間されることを用いて解が満たす条件を求めた. その後, 計算機を用いてその条件が満たされる下限を求め, 解の存在する下限を与えた. 得られた条件は解の存在する下限を用いて与えられていたため, 同じ議論をさらに繰り返し行うことにより, 解の存在しない範囲の大幅な拡張に成功した.また, 筑波大学の齋藤耕太氏と共同で素数表現定数の代数的および位相的性質についても研究した. 得られた一つ目の結果として, 素数表現定数のすべての集合の位相的性質や最小値の存在性などを明らかにした. さらに, Sub-boundaryと呼ばれる特別な集合を導入することにより, 素数表現定数の超越性や代数的独立性などについても結果を与えた. 前者の結果は先行研究では明らかにされていなかった部分に注目して行った成果であり, 後者の結果はこれまで関連した研究が少なかったため, 新たな研究テーマを提示した研究といえる.組合せ論に関連する研究としては, 上智大学の中筋麻貴氏と共同で特別な整数の分割に付随する10th variation Schur関数に対して, Pieri公式を与えた. これは以前の研究がより一般の枠組みで成立することを指摘したものである. 特別な場合である9th variation Schur関数に対するPieri公式も一般には知られていないため, 導入したPushing ruleは今後のPieri公式の拡張に関する研究に貢献することが引き続き期待される.