分岐を許した場合の幾何学的ラングランズ対応の構成について

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今年度は、昨年度に引き続き、孤立特異点に付随する消失輪体の局所イプシロン因子を研究した。本年度の結果は、昨年度得られたイプシロンサイクルの結果を、定数層の場合に限って精密化したものである。Xを有限体k上の滑らかな多様体とし、X上の関数fを考える。fの孤立特異点zに対してzに台を持つ消失輪体が定義される。これは局所体のl進Galois表現であり、特異点の複雑さを測るものである。一方で、関数の孤立特異点からk上の非退化対称双線形形式が構成できることはよく知られている。この双線形形式の階数、すなわちMilnor数、が消失輪体複体の全次元に等しいということがDeligneにより示されている（Milnor公式）。今年度はこのMilnor公式の精密化として、kの標数が奇数の時は、消失輪体複体の局所イプシロン因子が双線形形式の判別式を用いて表示できることを証明した。標数が2の時はWitt環への持ち上げを考えればよいことが分かった。詳しく説明すると、関数fのWitt環への持ち上げを一つ取り、この持ち上げから定まるW(k)上の双線形形式の判別式が持ち上げの取り方によらず、更には（Artin-Schreier理論で現れる）kの元の同値類を定めることが分かった。この不変量をArf不変量と名づけ、標数2の場合の局所イプシロン因子はこのArf不変量を用いて計算できることを示した。上述の結果の混標数類似についても考察した。Xを離散付値環R上平坦有限型な正則スキームとし、zを閉ファイバー上の点で、zの外でXはR上滑らかとする。このような特異点から（ある意味での）非退化対称双線形形式を構成し、剰余標数が奇数の場合にこれの判別式を用いて局所イプシロン因子を表示する公式を予想した。この予想が正しいことはRの有限次拡大に対しては確かめた。