Anomalous transport in low-dimensional chains of oscillators

近年の数値実験により, 一次元非線形ハミルトン系では熱の異常拡散(フーリエの法則の破れ), またそれに対応したエネルギー超拡散が広く見られることが知られている. 本研究では, 一次元非線形ハミルトン系の性質を良く近似しまた数学的に解析可能な数理モデルである確率調和振動子鎖モデルを扱い, より一般的な設定のもとで系の巨視的エネルギーの時間発展法則を導出した. 以下では扱った設定ごとの研究実績を述べる.多項式減衰するような長距離相関を持つ確率調和振動子鎖における巨視的熱エネルギーの時間発展法則について, 適当な初期条件の下で長距離相関の強さに応じた指数を持つ分数階拡散方程式に従うことを示した. また, 同モデルの保存量である運動量, 一般化テンションの巨視的時間発展法則は長距離相関の強さに応じた指数を持つ超弾道的波動方程式に従うことを示し, 巨視的振動エネルギーは超弾道的スケールでふるまうことを示した. これは, 熱エネルギーと振動エネルギーが長距離相関により巨視的に分離されることを意味している. さらに, 巨視的平均である超弾道的波動方程式からの微視的揺らぎを導出し, その時空間スケールは長距離相関の強さに応じて非単調に変化することを示した.外場のある確率調和振動子鎖について, 適当な外場の強さに関する釣り合い条件が満たされている場合に, 弾道的スケールで動く量があることを示した. さらに, この釣り合い条件が満たされているかどうかに応じて巨視的熱エネルギーのふるまいが異なることを示した.

近年の数値実験により, 一次元非線形ハミルトン系では熱の異常拡散(フーリエの法則の破れ), またそれに対応したエネルギー超拡散が広く見られることが知られている. 本研究では, 一次元非線形ハミルトン系の性質を良く近似しまた数学的に解析可能な数理モデルである確率調和振動子鎖モデルを扱い, より一般的な設定のもとで系の巨視的エネルギーの時間発展法則を導出した. 以下では扱った設定ごとの研究実績を述べる.多項式減衰するような長距離相関を持つ確率調和振動子鎖における巨視的熱エネルギーの時間発展法則について, 適当な初期条件の下で長距離相関の強さに応じた指数を持つ分数階拡散方程式に従うことを示した. また, 同モデルの保存量である運動量, 一般化テンションの巨視的時間発展法則は長距離相関の強さに応じた指数を持つ超弾道的波動方程式に従うことを示し, 巨視的振動エネルギーは超弾道的スケールでふるまうことを示した. これは, 熱エネルギーと振動エネルギーが長距離相関により巨視的に分離されることを意味している. さらに, 巨視的平均である超弾道的波動方程式からの微視的揺らぎを導出し, その時空間スケールは長距離相関の強さに応じて非単調に変化することを示した.外場のある確率調和振動子鎖について, 適当な外場の強さに関する釣り合い条件が満たされている場合に, 弾道的スケールで動く量があることを示した. さらに, この釣り合い条件が満たされているかどうかに応じて巨視的熱エネルギーのふるまいが異なることを示した.