ゼータ関数の解析的性質及び，数論への応用

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今年度の主要な研究成果は「L関数の値を成分とするベクトル値関数に対する多次元中心極限定理の大偏差評価」、「Riemannゼータ関数の対数関数の反復積分の分布関数の漸近挙動」に関するいくつかの結果を証明したことである。前者に対する結果はBombieriとHejhalにより証明された「L関数に対する多次元中心極限定理」を精密化することで得られた。後者に対する結果はHattori-MatsumotoやLamzouriの研究を、Radziwillの方法と課題者が前年度に証明した近似公式を組み合わせることで得られた。前者の研究はL関数のモーメントの研究にも発展した。例えば、Riemannゼータ関数のネガティブモーメントに対して新しい結果を与えることができた。Riemannゼータ関数のネガティブモーメントに対する非自明な既存の結果は、GonekによるRiemann予想下のものしかなかった。一方で、課題者はLi氏との共同研究でGonekの評価よりは弱い評価ではあるものの、Riemann予想を仮定しない評価を初めて証明した。さらに、それは「同時下限モーメント」と課題者が呼んでいる、通常のモーメントを一般化した新しいモーメントの研究にもつながった。このモーメントに対する研究はまだ発展途中の段階であり、Harperの結果に相当する評価まで精密化することは今後の課題である。後者の研究で与えた結果は、TsangによるRiemannゼータ関数の対数関数の反復積分に対するオメガ評価の一部を復元するものである。さらに本年度でこの後者の研究をBohr-Jessenの極限定理の大偏差に発展させる研究も開始した。この研究は名古屋大学の遠藤氏、上智大学の峰氏との共同研究である。当該研究ではふたつの論文を書くことを予定しており、最初のひとつは近日公表する予定である。