最適コーティングと特異摂動固有値問題

最优涂层与奇异摄动特征值问题

• 批准号: 19J12344
• 负责人: 谷地村 敏明
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-25 至 2021-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J12344/
• 关键词: 楕円型方程式; 形状解析; 固有値問題; 形状最適化問題; 逆問題; コーティング問題; 過剰決定問題; 数値計算

本年度においては，コーティング問題に由来する形状最適化問題ならびに逆問題について考察し，最適コーティング形状の幾何学的な性質や構造を解析した．具体的には，以下の三つの問題について取り組んだ．まず，ポアソン方程式に関する薄膜コーティング問題について考察した．特に最適コーティングが定数であるならば領域は球に限るかについて考察し，最適コーティングと方程式の解との関係式や部分積分等から本問題をSerrinの過剰決定問題に帰着させることで示した．この結果の対偶をとることにより，球でない場合，最適コーティングは定数ではないことがわかる．さらに，領域が球から摂動した際の最適コーティング形状の解析に取り組み，形状微分を用いることにより最適コーティング形状を同定した．次にコーティング問題に由来するSerrin型優決定問題について考察した．本研究ではまず，陰関数定理と形状微分を用いて，自明解(同心球)近傍における二相Serrin型優決定問題の解の存在と一意性を証明した．さらに，Kohn-Vogelius汎関数とH^1勾配法を用いた数値計算を行った．さらに提案したアルゴリズムによる数値計算から，ある特別な場合において分岐現象が現れることが示唆されていた．この問題に関して分岐解析を行い，介在物が球であってもコーティング形状は一様とは限らないというある種の対称性の破れが起こることを示した．さらに薄膜コーティング問題について，第一固有値と対応する第一固有関数の外部におけるノイマンデータが観測できたとき，内部のロバン係数(コーティング部分)が復元できるかというスペクトル逆問題について考察し，本逆問題に対する一意性及び局所リプシッツ安定性を示した．さらに，ノイマン追跡型汎関数に対するフレッシェ微分を求めることにより，勾配法に基づいた数値アルゴリズムを導出し数値計算を行った．

在今年，我们讨论了由涂料问题引起的形状优化问题和反向问题，并分析了最佳涂层形状的几何特性和结构。具体来说，我们解决了以下三个问题：首先，我们与泊松方程讨论了薄膜涂料问题。特别是，如果最佳涂层是恒定的，则该区域仅限于一个球体，并且我们通过将问题推断为塞林蛋白的过度确定问题，这表明了这个问题，这是根据最佳涂层与方程式，部分积分等方案之间的关系。此外，我们研究了当区域从球体上扰动的最佳涂料形状，并使用形状分化鉴定了最佳涂层形状。接下来，我们讨论了锯齿蛋白型优越性问题，该问题来自涂料问题。在这项研究中，我们首先使用隐式函数定理和形状分化，首先证明了对同心球体附近的两相锯齿蛋白型评估问题的溶液的存在和独特性。此外，使用Kohn-Vogelius功能和H^1梯度方法进行数值计算。此外，使用所提出的算法的数值计算表明，在特定情况下发生了分支现象。我们对这个问题进行了分叉分析，表明即使包含是一个球体，也会发生某种对称性破裂，其中涂层形状并不总是均匀的。此外，关于薄膜涂料问题，我们检查了频谱反问题，其中可以观察到第一个特征值和相应的第一个特征功能之外的neumann数据，可以恢复内部roban系数（涂层部分），并证明此异常问题的唯一性和位置lipschitz稳定性。此外，通过计算Neumann跟踪功能的壁画分化，得出了基于梯度方法的数值算法并进行了数值计算。

项目成果

On a thin coating problem and its related inverse problem

关于薄涂层问题及其相关的反问题

• 发表时间: 2019
• 作者: Gorsky Eugene;Hogancamp Matthew; Mellit Anton;Nakagane Keita;田中美佳;伊故海貴則;T.Yachimura
• 通讯作者: T.Yachimura

On a two-phase Serrin-type problem and its numerical computation

一类两相Serrin型问题及其数值计算

• DOI: 10.1051/cocv/2019048
• 发表时间: 2019
• 期刊: ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations
• 作者: CAVALLINA Lorenzo;YACHIMURA Toshiaki
• 通讯作者: YACHIMURA Toshiaki

Two-phase overdetermined problems of Serrin-type and Kohn-Vogelius functional

Serrin型和Kohn-Vogelius泛函的两相超定问题

• 发表时间: 2019
• 作者: Gorsky Eugene;Hogancamp Matthew; Mellit Anton;Nakagane Keita;田中美佳;伊故海貴則;T.Yachimura;伊故海貴則;中兼啓太;T.Yachimura
• 通讯作者: T.Yachimura

Symmetry Breaking Solutions for a Two-Phase Overdetermined Problem of Serrin-Type

Serrin型两相超定问题的对称破缺解

• DOI: 10.1007/978-3-030-87502-2_44
• 发表时间: 2022
• 期刊: Current Trends in Analysis, its Applications and Computation Proceedings of the 12th ISAAC Congress, Aveiro, Portugal, 2019
• 作者: Cavallina Lorenzo;Yachimura Toshiaki
• 通讯作者: Yachimura Toshiaki

On a Robin inverse problem related to thin coating problems

与薄涂层问题相关的 Robin 反问题

• 发表时间: 2019
• 作者: Gorsky Eugene;Hogancamp Matthew; Mellit Anton;Nakagane Keita;田中美佳;伊故海貴則;T.Yachimura;伊故海貴則;中兼啓太;T.Yachimura;T.Yachimura
• 通讯作者: T.Yachimura