最適コーティングと特異摂動固有値問題

本年度においては，コーティング問題に由来する形状最適化問題ならびに逆問題について考察し，最適コーティング形状の幾何学的な性質や構造を解析した．具体的には，以下の三つの問題について取り組んだ．まず，ポアソン方程式に関する薄膜コーティング問題について考察した．特に最適コーティングが定数であるならば領域は球に限るかについて考察し，最適コーティングと方程式の解との関係式や部分積分等から本問題をSerrinの過剰決定問題に帰着させることで示した．この結果の対偶をとることにより，球でない場合，最適コーティングは定数ではないことがわかる．さらに，領域が球から摂動した際の最適コーティング形状の解析に取り組み，形状微分を用いることにより最適コーティング形状を同定した．次にコーティング問題に由来するSerrin型優決定問題について考察した．本研究ではまず，陰関数定理と形状微分を用いて，自明解(同心球)近傍における二相Serrin型優決定問題の解の存在と一意性を証明した．さらに，Kohn-Vogelius汎関数とH^1勾配法を用いた数値計算を行った．さらに提案したアルゴリズムによる数値計算から，ある特別な場合において分岐現象が現れることが示唆されていた．この問題に関して分岐解析を行い，介在物が球であってもコーティング形状は一様とは限らないというある種の対称性の破れが起こることを示した．さらに薄膜コーティング問題について，第一固有値と対応する第一固有関数の外部におけるノイマンデータが観測できたとき，内部のロバン係数(コーティング部分)が復元できるかというスペクトル逆問題について考察し，本逆問題に対する一意性及び局所リプシッツ安定性を示した．さらに，ノイマン追跡型汎関数に対するフレッシェ微分を求めることにより，勾配法に基づいた数値アルゴリズムを導出し数値計算を行った．

本年度においては，コーティング問題に由来する形状最適化問題ならびに逆問題について考察し，最適コーティング形状の幾何学的な性質や構造を解析した．具体的には，以下の三つの問題について取り組んだ．まず，ポアソン方程式に関する薄膜コーティング問題について考察した．特に最適コーティングが定数であるならば領域は球に限るかについて考察し，最適コーティングと方程式の解との関係式や部分積分等から本問題をSerrinの過剰決定問題に帰着させることで示した．この結果の対偶をとることにより，球でない場合，最適コーティングは定数ではないことがわかる．さらに，領域が球から摂動した際の最適コーティング形状の解析に取り組み，形状微分を用いることにより最適コーティング形状を同定した．次にコーティング問題に由来するSerrin型優決定問題について考察した．本研究ではまず，陰関数定理と形状微分を用いて，自明解(同心球)近傍における二相Serrin型優決定問題の解の存在と一意性を証明した．さらに，Kohn-Vogelius汎関数とH^1勾配法を用いた数値計算を行った．さらに提案したアルゴリズムによる数値計算から，ある特別な場合において分岐現象が現れることが示唆されていた．この問題に関して分岐解析を行い，介在物が球であってもコーティング形状は一様とは限らないというある種の対称性の破れが起こることを示した．さらに薄膜コーティング問題について，第一固有値と対応する第一固有関数の外部におけるノイマンデータが観測できたとき，内部のロバン係数(コーティング部分)が復元できるかというスペクトル逆問題について考察し，本逆問題に対する一意性及び局所リプシッツ安定性を示した．さらに，ノイマン追跡型汎関数に対するフレッシェ微分を求めることにより，勾配法に基づいた数値アルゴリズムを導出し数値計算を行った．