複合媒質における固有値問題と最適コーティング形状の解析

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本研究課題はコーティング問題に由来する形状最適化問題の臨界形状を表す過剰決定問題について考察し，最適コーティング形状の幾何学的な性質や構造について解析するものである．これまでの研究では，コーティングにおける界面において解及びその流量が連続であるという完全界面の仮定をおいて解析していたが，本年度においては解は連続だが流量は不連続な場合における不完全界面を有する二相媒質のSerrin型優決定問題について解析した．こうしたモデルとしては熱伝導体や腐食のある電気伝導体等として知られており，物理・工学的にも興味深い．本研究ではこうした二相Serrin型優決定問題に関して，形状最適化問題がある種の非退化性を持つ場合における同心球近傍における解の一意存在性を証明した．一方ある種の退化性を持つ場合は分岐解を持つことを証明した．さらに，このような自由境界問題における新規アルゴリズムを提案し，その有効性を有限要素法のフリーソフトウェアであるfreefem++を用いて確認した．