ホモロジーに着目した新たなパーコレーションモデルの構築による破壊現象への応用

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本研究課題の主題である「材料科学への応用を見据えたパーコーレーションモデルの構築」のため、前年度に引き続き最速浸透モデル（ファーストパッセージパーコレーションモデル）の研究を行った。最速浸透モデルの基本的な結果として「大数の法則」、即ち浸透領域を時間でスケール変換したものがある極限図形へと収束することが知られている。この結果を正方格子モデルから結晶格子モデルへと拡張したのが前年度までの主結果である。本年度は極限図形の形状を調べる一手法として、極限図形の被覆単調性を示した。具体的には、射影の関係にある二つの結晶格子に対して独立かつ同分布な最速浸透モデルを与えたとき、それぞれにおいて得られる極限図形の大小比較を与えた。この結果は、三角格子と3次元正方格子といったよく知られた対象の組みに適用することができ、従来の正方格子モデルの極限図形の考察に対しても示唆を与えるものである。この考察自体は前年度より行っていたが、本年度は、前年度に自身が与えた証明の不備を見つけるとともに、格子のグラフ構造に適切に着目することにより、一般的な形で証明を与え直すことに成功した。上述の最速浸透モデルにおける被覆単調性の議論は、ボンドパーコレーションモデルにおける浸透領域（クラスター）の考察にも応用される。結晶格子モデルにおいてクラスターの確率的形状が大偏差原理に従うことは前年度に示していたが、今回の議論を用いることにより、確率的挙動を規定するレート関数についての被覆単調性を示すことができる。臨界確率の被覆単調性については先行研究により既に知られていたが、本研究の結果はそれを含むものであり、またクラスターの確率的な「広がり方」をより詳細に評価したものに相当する。