作用素環論と幾何学

本研究のテーマである, 楕円型微分作用素の指数やスペクトルの理論とその発展, さらに数理物理学への応用に関する研究を行った.第一に, 指数・スペクトルの局所化と呼ばれる現象に関する研究を行った. これは，多様体上にある「付加構造」が与えられているとき，楕円型作用素の指数やスペクトルの情報がその構造の「特異集合」の近傍の情報のみから計算できる，という現象である. このような局所化が起こる原理とは何か, という問いから出発し, その一つの例として, 服部広大氏（慶応大学）との共同研究において, 幾何学的量子化に現れるスペクトル収束に関する研究を行った. シンプレクティック多様体上の複素構造の退化に従って作用素のスペクトルがBohr-Sommerfeld点に局所化するという結果であり, 測度距離空間の理論と指数理論を組み合わせた考察が鍵になる.さらにこの結果を発展させ, Lagrangianファイバー束に対する変形量子化の新しい構成を与えた.第二に, 数理物理学への応用に関して, 理論物理学者を交えたグループでの共同研究を行った. 数学者である松尾信一郎氏(名古屋大学), 古田幹雄氏(東京大学)と申請者, さらに素粒子物理学者である大野木哲也氏，深谷英則氏と山口哲氏(3人いずれも大阪大学)の共同研究において, Atiyah-Patodi-Singerの境界付き多様体に対する指数定理に対して「物理学者フレンドリーな再定式化」を与えるという結果を得た.

本研究のテーマである, 楕円型微分作用素の指数やスペクトルの理論とその発展, さらに数理物理学への応用に関する研究を行った.第一に, 指数・スペクトルの局所化と呼ばれる現象に関する研究を行った. これは，多様体上にある「付加構造」が与えられているとき，楕円型作用素の指数やスペクトルの情報がその構造の「特異集合」の近傍の情報のみから計算できる，という現象である. このような局所化が起こる原理とは何か, という問いから出発し, その一つの例として, 服部広大氏（慶応大学）との共同研究において, 幾何学的量子化に現れるスペクトル収束に関する研究を行った. シンプレクティック多様体上の複素構造の退化に従って作用素のスペクトルがBohr-Sommerfeld点に局所化するという結果であり, 測度距離空間の理論と指数理論を組み合わせた考察が鍵になる.さらにこの結果を発展させ, Lagrangianファイバー束に対する変形量子化の新しい構成を与えた.第二に, 数理物理学への応用に関して, 理論物理学者を交えたグループでの共同研究を行った. 数学者である松尾信一郎氏(名古屋大学), 古田幹雄氏(東京大学)と申請者, さらに素粒子物理学者である大野木哲也氏，深谷英則氏と山口哲氏(3人いずれも大阪大学)の共同研究において, Atiyah-Patodi-Singerの境界付き多様体に対する指数定理に対して「物理学者フレンドリーな再定式化」を与えるという結果を得た.