指数・スペクトルの局所化と非可換幾何学の新展開

点击翻译按钮获取中文摘要

代数トポロジーと数理物理学に関する研究を進めた. 本年度は主に, Topological Modular Forms (TMF)と呼ばれる一般コホモロジー理論に関する研究を行った.一般コホモロジー理論TMFは, 現代ホモトピー論の「金字塔」ともいえる, 純粋数学的に重要な研究対象である. 一方, 「TMFが2次元超対称場の理論を分類する」というStolz-Teichner予想を通じて, 理論物理学とも深く関係している.私は昨年度, 物理学者の立川裕二氏との共同研究において, TMFを用いることで, 「ヘテロティック弦理論の量子異常が存在しない」, という物理的命題に対する数学的証明を与えた. 本年度は立川氏とともに, それを深化させる研究を行った. この「量子異常の消滅」（物理学的事実）と「TMFのAnderson自己双対性」（純粋数学的事実）が実は深く関係していることを証明した. Anderson自己双対性はホモトピー論の深い結果であり, この事実に物理的解釈を与えたのは, 純粋数学的な立場から見ても非常に面白い結果である. また, この結果を応用し, TMFの非自明なねじれ元やpower operation等, 今まで純ホモトピー論的な証明しか知られていなかった様々な構造に対して, 微分幾何的証明を与えた. この結果に関しては現在論文執筆中である.