Cayleyグラフのexpander性の評価と調和解析・表現論との関連

ユニモジュラー局所コンパクト群G上の不等式について，新しい結果を証明し2つの論文にまとめた．(1)G上の2つの可測関数の台が十分小さいときに畳み込みと凸関数の合成の積分が，G=R上で区間の特性関数の畳み込みの場合に最大となることを示した．この系として，2つの可測集合B_1，B_2の特性関数の畳み込みの台の測度がB_1とB_2の測度の和以上となることを示した．この畳み込みの台はB_1とB_2の積に含まれるので，Brunn-Minkowski-Kempermanの不等式より強い形となる．(2)(2-i)G=RのときのWang-Madiman(2014)の結果をユニモジュラー局所コンパクト群上に一般化し，G上の可測関数f_1，f_2の台が十分小さいときにf_1とf_2の畳み込みと凸関数の合成の積分は対称減少再配分を施した方が大きくなることを証明した．(2-ii)Gが開かつコンパクトな部分群を持たない時にYoung，Hausdorff-Youngの不等式の最適定数Y_O(G)，H(G)を上から評価し，逆Youngの不等式の最適定数Y_R(G)を下から評価した．Fournier(1977)は(i)Gが開かつコンパクトな部分群を持たないこと，(ii)Y_O(G)<1であること，(iii)H(G)<1であることがすべて同値であることを証明した．さらにGが特別な場合に(iv)Y_O(G)がY_O(R)以下であることや(v)H(G)がH(R)以下であることがNielsen(1994)，Cowling-Martini-M\"{u}ller-Parcet(2019)などにより証明された．本研究では，条件(i)-(v)と(vi)Gの連結成分がコンパクトでないこと，(vii)Y_R(G)がY_R(R)以上であること，(viii)Y_R(G)>1であることがすべて同値になることを証明した．

ユニモジュラー局所コンパクト群G上の不等式について，新しい結果を証明し2つの論文にまとめた．(1)G上の2つの可測関数の台が十分小さいときに畳み込みと凸関数の合成の積分が，G=R上で区間の特性関数の畳み込みの場合に最大となることを示した．この系として，2つの可測集合B_1，B_2の特性関数の畳み込みの台の測度がB_1とB_2の測度の和以上となることを示した．この畳み込みの台はB_1とB_2の積に含まれるので，Brunn-Minkowski-Kempermanの不等式より強い形となる．(2)(2-i)G=RのときのWang-Madiman(2014)の結果をユニモジュラー局所コンパクト群上に一般化し，G上の可測関数f_1，f_2の台が十分小さいときにf_1とf_2の畳み込みと凸関数の合成の積分は対称減少再配分を施した方が大きくなることを証明した．(2-ii)Gが開かつコンパクトな部分群を持たない時にYoung，Hausdorff-Youngの不等式の最適定数Y_O(G)，H(G)を上から評価し，逆Youngの不等式の最適定数Y_R(G)を下から評価した．Fournier(1977)は(i)Gが開かつコンパクトな部分群を持たないこと，(ii)Y_O(G)<1であること，(iii)H(G)<1であることがすべて同値であることを証明した．さらにGが特別な場合に(iv)Y_O(G)がY_O(R)以下であることや(v)H(G)がH(R)以下であることがNielsen(1994)，Cowling-Martini-M\"{u}ller-Parcet(2019)などにより証明された．本研究では，条件(i)-(v)と(vi)Gの連結成分がコンパクトでないこと，(vii)Y_R(G)がY_R(R)以上であること，(viii)Y_R(G)>1であることがすべて同値になることを証明した．