ゲージ理論とトポロジー

规范理论和拓扑

基本信息

批准号：
19J23048
负责人：
飯田暢生
金额：
$ 1.6万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

ゲージ理論とよばれる理論の一つの側面として, ４次元多様体上の非線形偏微分方程式であって, ゲージ対称性とよばれる無限次元の対称性を持つようなものの解析を通して, 3, 4次元多様体の幾何学的情報を得るという研究が, 1980年代以降活発に行われてきた.私が行ってきた研究はその中でも主に, Seiberg-Witten方程式とよばれる方程式を用いるものである.Seiberg-Witten方程式以前にあったもう一つの代表的なゲージ理論的非線形偏微分方程式であるASD方程式との顕著な違いとして, Seiberg-Witten方程式からは, シンプレクティック・コンタクト構造とよばれる幾何構造の情報を, 微分幾何的に, 直接引き出すことができる. このような研究はTaubesによるシンプレクティック4次元多様体上のSeiberg-Witten理論に始まり, それを受けてKronheimer-Mrowkaは, シンプレクティック構造を持つコーン状の端をもつ4次元多様体上のSeiberg-Witten方程式の解析を通して, コンタクト構造の情報が捉えられることを見出した. 私が行ってきた研究は, この方向性を推し進め, Seiberg-Witten方程式を通して, シンプレクティック構造, コンタクト構造や3, 4次元多様体のトポロジーの情報を捉えるというものである. 本年度は, 今野北斗氏, Anubhav Mukherjee氏, 谷口正樹氏との共同研究として, Kronheimer-Mrowkaの上述の考察を, コンタクト構造を境界に持つ4次元多様体の族に対して展開することにより, 境界つき4次元多様体に対するDiff群とHomeo群の差を検出する結果などを得て, それをArxivに投稿した.

该理论称为量规理论的一个方面是，通过分析具有无限对称对称尺寸的四维流形的非线性偏微分方程，称为量规对称性，自1980年代以来就积极进行了研究。在我进行的研究中，主要使用称为Seiberg-witten方程的方程式。另一个代表性的量规理论非线性偏微分方程在Seiberg-witten方程之前，可以直接从Seiberg-witten方程中直接差异地衍生出称为Symbletictic接触结构的几何结构的信息。这类研究始于Taubes的Seiberg-witten理论关于符号4维流形的理论，Kronheimer-Mrowka发现，可以通过分析Seiberg-Witten方程在具有带有符号结构的圆锥形边缘的4维流形的Seiberg-Witten方程来捕获有关接触结构的信息。我进行的研究是通过Seiberg-witten方程来促进这一方向并捕获有关象征结构，接触结构和3-4维歧管的信息。今年，Konno-Mrowka与Konno Hokuto，Anubhav Mukherjee和Taniguchi Masaki合作，Kronheimer-Mrowka的上述考虑因素是为具有接触结构作为边界的四维歧管的家族开发的。我们获得了检测到有限的4维流形的DIFF和HONEO组之间差异的结果，并将其发布在Arxiv上。