ゲージ理論とトポロジー

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ゲージ理論とよばれる理論の一つの側面として, ４次元多様体上の非線形偏微分方程式であって, ゲージ対称性とよばれる無限次元の対称性を持つようなものの解析を通して, 3, 4次元多様体の幾何学的情報を得るという研究が, 1980年代以降活発に行われてきた.私が行ってきた研究はその中でも主に, Seiberg-Witten方程式とよばれる方程式を用いるものである.Seiberg-Witten方程式以前にあったもう一つの代表的なゲージ理論的非線形偏微分方程式であるASD方程式との顕著な違いとして, Seiberg-Witten方程式からは, シンプレクティック・コンタクト構造とよばれる幾何構造の情報を, 微分幾何的に, 直接引き出すことができる. このような研究はTaubesによるシンプレクティック4次元多様体上のSeiberg-Witten理論に始まり, それを受けてKronheimer-Mrowkaは, シンプレクティック構造を持つコーン状の端をもつ4次元多様体上のSeiberg-Witten方程式の解析を通して, コンタクト構造の情報が捉えられることを見出した. 私が行ってきた研究は, この方向性を推し進め, Seiberg-Witten方程式を通して, シンプレクティック構造, コンタクト構造や3, 4次元多様体のトポロジーの情報を捉えるというものである. 本年度は, 今野北斗氏, Anubhav Mukherjee氏, 谷口正樹氏との共同研究として, Kronheimer-Mrowkaの上述の考察を, コンタクト構造を境界に持つ4次元多様体の族に対して展開することにより, 境界つき4次元多様体に対するDiff群とHomeo群の差を検出する結果などを得て, それをArxivに投稿した.