Adiabatic limits in geometric quantization and affine geometry

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Lagrangeファイバー束の幾何学的量子化についての自身の先行研究において、ファイバー束の全空間がコンパクトな場合、概複素構造に関するある技術的な条件の下、前量子化束の切断のBohr-Sommerfeld点で添え字づけられた互いに直交する族で次の性質を持つものを構成した：断熱極限の下で、(1) 各切断の台が対応するBohr-Sommerfeldファイバーに集中する。(2) 各切断にSpinc Dirac作用素を施したものが0に収束する。Lagrangeファイバー束の全空間がKahlerの場合には，そのような族を正則切断の族であるように構成することが出来る。前量子化束の滑らかな切断の空間には、全空間上の関数が線型作用素として作用する。全空間がKahlerの場合にこの作用素が正則切断の空間を保つ為の条件を調べると、全空間がコンパクトの場合には、対応する関数は定数関数でなければならないことが分かった。幾何学的量子化の観点からは、この結果はあまり興味深いものではない。そこで今年度は、先行研究の手法を見直すことで、全空間のコンパクト性を仮定しない場合にも、これまでに得られた結果を次のように一般化することに成功した。すなわち、概複素構造に関するある技術的な条件の下、前量子化束の二乗可積分な切断の空間のBohr-Sommerfeld点で添え字づけられた直交系で上記の性質(1)、(2)を持つものが構成できた。特に、Lagrangeファイバー束の全空間がKahlerの場合には，二乗可積分な正則切断の空間の完全直交系で上記(1)を満たすものが構成出来た。