運動量写像に関するコホモロジー理論の一般化及び平坦バンドルのモジュライへの応用

非特異トーリック多様体上のコンパクトトーラス作用は,局所的にはコンパクト・トーラスの標準表現と弱同変微分同相である.このような作用は,局所標準トーラス作用と呼ばれている.1991年にDavis-Januszkiewiczは局所標準トーラス作用を持つ多様体で軌道空間が単純凸体であるものに着目し,これらがトーリック多様体と同様,興味深い組み合わせ的な性質を持つことを示した.これ以降,トーリック多様体の位相幾何学的一般化についての研究が盛んに行われるようになった.これらの研究に触発されて,以下の構造を考察した.Xを境界のない2n次元の多様体とし,Xの座標近傍系で次を満たすものを考える;各座標近傍はn次元複素ベクトル空間C^nのn次元コンパクトトーラスT^nの標準的作用で不変な開集合と同相で,二つの座標近傍の共通部分で座標変換は弱同変微分同相である.(この座標近傍系の同値類をここでは,標準作用をモデルとする局所トーラス作用,または,より単純に局所トーラス作用と呼ぶことにする.)このとき,n次元角付き位相多様体BとXからBへの連続写像μで,局所的にはT^nのC^nへの標準的作用の軌道写像と同一視できるものが存在する.今年度は,局所トーラス作用を位相的に分類できた.局所トーラス作用には,トーラスの自己同型群を構造群に持つある主束P_x, Bの(角付き多様体の構造から定まる)自然な滑層分割の余次元1の滑層上のあるランク1の格子束L_x,及びμが切断を持つための障害としてある特性類e_xが付随する.局所トーラス作用は,P_x, L_x及びe_xの三つ組で位相的に分類される,またe_xが消える場合には,元の局所トーラス作用をP_xとL_xから復元することもできる.局所トーラス作用を持つ多様体の重要な例に,非退化楕自形特異点をもつLagrangeファイバー空間がある.そこで,局所トーラス作用を持つ多様体が非退化楕円形特異点を持つLagrangeファイバー空間となるための必要十分条件を与えた.非特異Lagrangeファイバー束については,この結果はDuistermaatによって知られている.以上の結果は,X及びBが向き付けられて,e_xが消える場合には論文"Twisted toric structures"にまとめた.一般の場合は,論文"On local torus actions modeled on the standard torus action(仮題)"に執筆中である.

非特異トーリック多様体上のコンパクトトーラス作用は,局所的にはコンパクト・トーラスの標準表現と弱同変微分同相である.このような作用は,局所標準トーラス作用と呼ばれている.1991年にDavis-Januszkiewiczは局所標準トーラス作用を持つ多様体で軌道空間が単純凸体であるものに着目し,これらがトーリック多様体と同様,興味深い組み合わせ的な性質を持つことを示した.これ以降,トーリック多様体の位相幾何学的一般化についての研究が盛んに行われるようになった.これらの研究に触発されて,以下の構造を考察した.Xを境界のない2n次元の多様体とし,Xの座標近傍系で次を満たすものを考える;各座標近傍はn次元複素ベクトル空間C^nのn次元コンパクトトーラスT^nの標準的作用で不変な開集合と同相で,二つの座標近傍の共通部分で座標変換は弱同変微分同相である.(この座標近傍系の同値類をここでは,標準作用をモデルとする局所トーラス作用,または,より単純に局所トーラス作用と呼ぶことにする.)このとき,n次元角付き位相多様体BとXからBへの連続写像μで,局所的にはT^nのC^nへの標準的作用の軌道写像と同一視できるものが存在する.今年度は,局所トーラス作用を位相的に分類できた.局所トーラス作用には,トーラスの自己同型群を構造群に持つある主束P_x, Bの(角付き多様体の構造から定まる)自然な滑層分割の余次元1の滑層上のあるランク1の格子束L_x,及びμが切断を持つための障害としてある特性類e_xが付随する.局所トーラス作用は,P_x, L_x及びe_xの三つ組で位相的に分類される,またe_xが消える場合には,元の局所トーラス作用をP_xとL_xから復元することもできる.局所トーラス作用を持つ多様体の重要な例に,非退化楕自形特異点をもつLagrangeファイバー空間がある.そこで,局所トーラス作用を持つ多様体が非退化楕円形特異点を持つLagrangeファイバー空間となるための必要十分条件を与えた.非特異Lagrangeファイバー束については,この結果はDuistermaatによって知られている.以上の結果は,X及びBが向き付けられて,e_xが消える場合には論文"Twisted toric structures"にまとめた.一般の場合は,論文"On local torus actions modeled on the standard torus action(仮題)"に執筆中である.