境界付き多様体のMorse理論と, そのFloer理論への応用

点击翻译按钮获取中文摘要

閉シンプレクティック多様体のLagrange部分多様体のFloerホモロジーは、あるループ空間上のMorseホモロジーと解釈することができる。これまで本研究代表者は、ある非コンパクトなシンプレクティック多様体におけるLagrange部分多様体のFloer理論を通じて、境界付き多様体のMorse理論の研究を行ってきた。当該年度は、シンプレクティック幾何にMorse理論が現れる状況として、主にシンプレクティックトーリック多様体とPolygon空間の2つの場合の周辺について調べた。シンプレクティックトーリック多様体とは実トーラスの作用とその作用に関する運動量写像を持つシンプレクティック多様体であり、その運動量写像を用いてMorse関数を構成することができる。また、シンプレクティックトーリック多様体は非斉次座標に関して複素共役を取る操作により反シンプレクティック対合写像を持ち、その対合写像の固定点全体はLagrange部分多様体となる。Polygon空間とはシンプレクティックトーリック多様体に似た性質を持つシンプレクティック多様体であり、稠密な開集合上で実トーラスの作用と運動量写像を持つ。また、自然な反シンプレクティック対合写像を持ち、その固定点全体はLagrange部分多様体となる。これらシンプレクティックトーリック多様体とPolygon空間については多くの研究があり、例えばHausmannとKnustonによりPolygon空間とその対合写像の固定点全体からなるLagrange部分多様体のコホモロジー環などが計算されている。当該年度はまだこれらのテーマに着手したばかりで飛躍的に新しい成果は得られていないが、シンプレクティック幾何においてMorse理論が具体的に現れる非常に重要な場面として注目している。