錐双曲多様体の標準的基本多面体族を用いた３次元幾何構造の研究

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今年度は、昨年度に引き続き、カスプ付き双曲多様体を主たる研究対象とし、“拡張された”Ford 領域およびDirichlet領域の持つ性質に関する基礎理論の研究を進め、大きく分けて次の二つの結果を得ることができた。本研究の着想の源となった二橋結び目錐双曲多様体の具体的構成に関する数値実験では、Ford 領域およびDirichlet領域を組み合わせて考えることで、二橋結び目の橋曲面の擬フックス構造から二橋結び目錐双曲多様体へとつなぐ変形族で、組み合わせ構造の変化がある種の単調性を持つものの存在が期待されていた。その変形族はターゲットとする二橋結び目のスロープで折れ曲がる「有理折目多様体」の拡張として定義されるものである。錐特異点を持たない場合に、この有理折目多様体上の拡張されたFord領域の組み合わせ構造は不変であることがわかった。この成果は研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」で講演し、その概要を査読なしの論文として数理解析研究所講究録で発表した。また、昨年度得られた、拡張されたFord領域が実射影空間内の真性凸（properly convex）集合であるという性質の証明を精密化することにより、付随する実射影構造の展開写像の像がproperであることが判明した。拡張されたFord領域はMinkowski空間内のある凸集合の双対集合から定められるが、Dirichlet領域についても同様の構成を行うことにより、拡張されたDirichlet領域を考えることができる。今年度は、この双対性を有限体積双曲多様体のDirichlet領域の性質の研究に応用した。その結果、有限体積双曲多様体のDirichlet領域の組み合わせ構造は基点を任意に動かしても高々有限個しか現れないことがわかった。