Extended knots and their invariants

該当年度は研究目的の1つである拡張結び目の幾何的構造の究明に関して成果を得た。古典的絡み目は3次元空間内の複数個の円周である。古典的絡み目を平面に射影して2重点に上下の情報を与えた図形を絡み目ダイアグラムという。また、同値な絡み目の変形に対応する絡み目ダイアグラムの変形をReidemeister変形という。すなわち1つの絡み目に対応する2つの絡み目ダイアグラムはReidemeister変形で移り合う。該当年度は、拡張絡み目である溶接絡み目、仮想絡み目、twisted linkのダイアグラムの性質について成果を得た。古典的絡み目に次の先行研究がある。絡み目のいくつかの円周からなる部分集合も絡み目とみなすことができる。この部分絡み目に対応する絡み目ダイアグラムの部分集合を部分絡み目ダイアグラムと呼ぶ。部分絡み目ダイアグラムを取り出して、それをReidemeister変形で異なる絡み目ダイアグラムに変形することができる。先行研究では絡み目ダイアグラムの部分絡み目ダイアグラムがその絡み目ダイアグラム内でその部分絡み目の補集合に対応する絡み目ダイアグラムを変形させることなくReidemeister変形可能であることが示された。これによって、絡み目ダイアグラムの部分絡み目ダイアグラムはその絡み目ダイアグラムの中でその部分絡み目に対応する任意の絡み目ダイアグラムに変形できることがわかる。溶接結び目ダイアグラムに対しては同様な性質を持つことを示した。仮想結び目ダイアグラムに対しては同様の性質が成立しないことが、研究代表者の提案したcyclic coveringの手法を用いることによって示すことができた。twisted linkダイアグラムに対してもdouble coveringとcyclic coveringの手法を用いて同様の性質が成立しないことを示した。

該当年度は研究目的の1つである拡張結び目の幾何的構造の究明に関して成果を得た。古典的絡み目は3次元空間内の複数個の円周である。古典的絡み目を平面に射影して2重点に上下の情報を与えた図形を絡み目ダイアグラムという。また、同値な絡み目の変形に対応する絡み目ダイアグラムの変形をReidemeister変形という。すなわち1つの絡み目に対応する2つの絡み目ダイアグラムはReidemeister変形で移り合う。該当年度は、拡張絡み目である溶接絡み目、仮想絡み目、twisted linkのダイアグラムの性質について成果を得た。古典的絡み目に次の先行研究がある。絡み目のいくつかの円周からなる部分集合も絡み目とみなすことができる。この部分絡み目に対応する絡み目ダイアグラムの部分集合を部分絡み目ダイアグラムと呼ぶ。部分絡み目ダイアグラムを取り出して、それをReidemeister変形で異なる絡み目ダイアグラムに変形することができる。先行研究では絡み目ダイアグラムの部分絡み目ダイアグラムがその絡み目ダイアグラム内でその部分絡み目の補集合に対応する絡み目ダイアグラムを変形させることなくReidemeister変形可能であることが示された。これによって、絡み目ダイアグラムの部分絡み目ダイアグラムはその絡み目ダイアグラムの中でその部分絡み目に対応する任意の絡み目ダイアグラムに変形できることがわかる。溶接結び目ダイアグラムに対しては同様な性質を持つことを示した。仮想結び目ダイアグラムに対しては同様の性質が成立しないことが、研究代表者の提案したcyclic coveringの手法を用いることによって示すことができた。twisted linkダイアグラムに対してもdouble coveringとcyclic coveringの手法を用いて同様の性質が成立しないことを示した。