曲面結び目のリスト作成と仮想結び目の不変量の研究

仮想結び目および溶接結び目の概念は、３次元ユークリッド空間内の古典的結び目の拡張であり、平面上の実交点・仮想交点をもつ射影図で表される。また、仮想結び目は厚み月閉曲面内の結び目とみなすことができ、溶接結び目は４次元ユークリッド空間内のトーラスが作る曲面結び目とみなすことができる。古典的、仮想、溶接結び目の性質には類似点だけでなく大きな相違点もあることが知られている。それらの類似性、相違性を調べることは結び目理論において重要な課題である。前年度までの研究において、仮想結び目に対して、捩れ多項式や３種類の交差多項式とよばれる不変量を導入し、その性質の解明を行った。本年度はこれらの不変量を通して、仮想結び目と古典的結び目の相違性を明らかにした。具体的には、二つの仮想結び目の射影図に対して、それらの捩れ数が一致していても正則同値（ライデマイスター変形IIおよびIII）とは限らないことを示した。古典的結び目に対しては捩れ数の一致と正則同値が必要十分条件である、という事実はよく知られている。また、溶接結び目に対しては、古典的結び目と同じ振る舞いをすることも示すことができた。交差多項式は、閉曲面上の二つのサイクルの交差数を利用して定義される。このアイディアを拡張することにより、交差多項式を仮想絡み目に対しても定義し、その性質の一端を明らかにした。与えられた仮想絡み目に対し、その各成分の射影図を自由にとることはできない、という既知の結果の簡便な別照明を与えることもできた。仮想絡み目と関連して、仮想タングルについても、その不変量のひとつであるZ彩色に関連する研究を行った。古典的タングルのZ彩色においてその端点の色の交代和は０に等しいことが知られているが、本研究では仮想絡み目では一般に０とは限らないこと、また適当な仮想タングルの端点の色として実現するための必要十分条件を与えることができた。

仮想結び目および溶接結び目の概念は、３次元ユークリッド空間内の古典的結び目の拡張であり、平面上の実交点・仮想交点をもつ射影図で表される。また、仮想結び目は厚み月閉曲面内の結び目とみなすことができ、溶接結び目は４次元ユークリッド空間内のトーラスが作る曲面結び目とみなすことができる。古典的、仮想、溶接結び目の性質には類似点だけでなく大きな相違点もあることが知られている。それらの類似性、相違性を調べることは結び目理論において重要な課題である。前年度までの研究において、仮想結び目に対して、捩れ多項式や３種類の交差多項式とよばれる不変量を導入し、その性質の解明を行った。本年度はこれらの不変量を通して、仮想結び目と古典的結び目の相違性を明らかにした。具体的には、二つの仮想結び目の射影図に対して、それらの捩れ数が一致していても正則同値（ライデマイスター変形IIおよびIII）とは限らないことを示した。古典的結び目に対しては捩れ数の一致と正則同値が必要十分条件である、という事実はよく知られている。また、溶接結び目に対しては、古典的結び目と同じ振る舞いをすることも示すことができた。交差多項式は、閉曲面上の二つのサイクルの交差数を利用して定義される。このアイディアを拡張することにより、交差多項式を仮想絡み目に対しても定義し、その性質の一端を明らかにした。与えられた仮想絡み目に対し、その各成分の射影図を自由にとることはできない、という既知の結果の簡便な別照明を与えることもできた。仮想絡み目と関連して、仮想タングルについても、その不変量のひとつであるZ彩色に関連する研究を行った。古典的タングルのZ彩色においてその端点の色の交代和は０に等しいことが知られているが、本研究では仮想絡み目では一般に０とは限らないこと、また適当な仮想タングルの端点の色として実現するための必要十分条件を与えることができた。