Loewner theory on deformation of universal covering maps

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レブナー理論とは，複素平面内の単連結領域で双曲的なものの時間発展による変形を取り扱うものであり，対応する単位円板からの等角写像の変形を微分方程式で記述，制御することを可能とする. 理論自体は２０世紀初頭に導入され古典的と見做されていたが，２１世紀に入り統計物理との関係が見出され，現在活発に研究が行われている．本研究課題の先行研究により, レブナー理論において取り扱う対象である領域が単連結に限られるという従来の制約を取り外し，多重連結領域まで拡張が行えることが示されている．ただしこの場合，取り扱う写像として等角(単射かつ正則)写像から, 普遍被覆写像という高次な対称性を持ち複雑な写像に変更をする必要がある.当該年度においてはレブナー鎖を取り扱う際に必須のツールである，角微分係数に関する Julia の補題について精密化, 及び増大度評価から歪曲評価への変更を行うことに成功した．stochastic なレブナー理論においては，上半平面における半平面容量という等角不変量が重要な役割を果たすが，これの単位円板での対応する量が角微分係数であるから，これからの応用が期待できると考えている．またレブナー鎖に付随する evolution family の連続性について，従来は時間に関する正規化と呼ばれる強い微分可能性を課してきたが，これを理論構築が可能である限りにおいてどこまで仮定を緩めることができるかについて考察を行い，連続 evolution family という新しいクラスを提案することが出来た．そして family がこのクラスに属す為の必要条件や十分条件について各種の結果を証明し，まとめることができた．基本的であるが従来はあまり考察が行われていなかった部分について貢献が出来たと考えている．