表面拡散方程式によって時間発展する曲線・曲面の形状と特異性の解析

Willmore汎関数に2次元の場合は長さ汎関数、3次元の場合は表面積汎関数の定数倍を加えたエネルギー汎関数の勾配流について閾値型近似アルゴリズムの研究を行なった。この勾配流に関しては、4階拡散方程式に空間変数に関するラプラシアンを加えた線形4階放物型偏微分方程式の基本解の漸近展開をもとに閾値型近似アルゴリズムを形式的には構成できる。本年度は2次元のWillmore流の場合に、この近似アルゴリズムによって実際にWillmore流による曲線の運動が数値計算できることを、榊原航也氏(岡山理科大学->金沢大学)と共に確認した。この数値計算では4階拡散方程式の数値解をFourier級数をもとに構成したが、空間方向の格子幅と時間方向の格子幅の取り方により、初期曲線の形状によっては数値計算が安定しない場合があることが分かった。現在は4階拡散方程式の数値解を陰解法で求めた場合に空間方向の格子幅と時間方向の格子幅の取り方によらず数値計算が安定するかを検討中である。また、石井克幸氏(神戸大学)、三宅庸仁氏(東京大学)と共に、近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解の構成についてOtto等の論文をもとに検討した。その結果、4階拡散方程式の積分核のトレースの漸近展開から近似エネルギー汎関数を導出し、その汎関数をもとに変分的時間離散近似から得られる広義解を考えることで、収束性が示される可能性があることが分かった。今後はこのアイデアをもとに近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解の構成及びその広義解への収束証明を試みる予定である。

Willmore汎関数に2次元の場合は長さ汎関数、3次元の場合は表面積汎関数の定数倍を加えたエネルギー汎関数の勾配流について閾値型近似アルゴリズムの研究を行なった。この勾配流に関しては、4階拡散方程式に空間変数に関するラプラシアンを加えた線形4階放物型偏微分方程式の基本解の漸近展開をもとに閾値型近似アルゴリズムを形式的には構成できる。本年度は2次元のWillmore流の場合に、この近似アルゴリズムによって実際にWillmore流による曲線の運動が数値計算できることを、榊原航也氏(岡山理科大学->金沢大学)と共に確認した。この数値計算では4階拡散方程式の数値解をFourier級数をもとに構成したが、空間方向の格子幅と時間方向の格子幅の取り方により、初期曲線の形状によっては数値計算が安定しない場合があることが分かった。現在は4階拡散方程式の数値解を陰解法で求めた場合に空間方向の格子幅と時間方向の格子幅の取り方によらず数値計算が安定するかを検討中である。また、石井克幸氏(神戸大学)、三宅庸仁氏(東京大学)と共に、近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解の構成についてOtto等の論文をもとに検討した。その結果、4階拡散方程式の積分核のトレースの漸近展開から近似エネルギー汎関数を導出し、その汎関数をもとに変分的時間離散近似から得られる広義解を考えることで、収束性が示される可能性があることが分かった。今後はこのアイデアをもとに近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解の構成及びその広義解への収束証明を試みる予定である。