発展方程式の形状と解の時空間構造の相関について

この研究課題は、偏微分方程式の形状と解の構造の相関関係を明らかにしようとするものである。当該年度は、この観点からの特に重要な指標を与える非圧縮性Navier-Stokes流に関する研究を行なった。Navier-Stokes方程式は、その非線形効果に空間非局所な作用素を含むモデルの代表格であるが、この効果により局所的な流速が瞬時に遠方に伝播するという特徴がある。したがって、この遠方に伝わる流速の成分がどのようなものであるかは興味深い問題である。当該年度の研究では、二次元平面の遠方において、流速を具体的な函数によって記述した。特に、流速の時間変化を詳細に表すことに成功した。この研究は、解の漸近展開における繰り込み法の適用によって実現したが、既存の研究においては、漸近展開の係数に現れる広義積分が上述の速い流速伝播の影響で発散するという問題があった。当該年度の研究では、Kukavicaらによる渦度を用いた流速の漸近近似の手法を参考に、これまで不可能であった高次の漸近展開を導出した。Navier-Stokes流において、渦度は流速と表裏一体の関係にあるが、流速と異なり渦度のFourier表象には特異的な作用素は含まれない。したがって、渦度においては流速のような瞬時の伝播は見られず、その可積分性を初期データによってコントロール可能である。流速の式を渦度によって記述すれば、上記の背景で問題となっていた漸近展開の係数の可積分性を稼げるというのが研究の主眼である。この研究については、現在査読付き学術雑誌に投稿中である。

この研究課題は、偏微分方程式の形状と解の構造の相関関係を明らかにしようとするものである。当該年度は、この観点からの特に重要な指標を与える非圧縮性Navier-Stokes流に関する研究を行なった。Navier-Stokes方程式は、その非線形効果に空間非局所な作用素を含むモデルの代表格であるが、この効果により局所的な流速が瞬時に遠方に伝播するという特徴がある。したがって、この遠方に伝わる流速の成分がどのようなものであるかは興味深い問題である。当該年度の研究では、二次元平面の遠方において、流速を具体的な函数によって記述した。特に、流速の時間変化を詳細に表すことに成功した。この研究は、解の漸近展開における繰り込み法の適用によって実現したが、既存の研究においては、漸近展開の係数に現れる広義積分が上述の速い流速伝播の影響で発散するという問題があった。当該年度の研究では、Kukavicaらによる渦度を用いた流速の漸近近似の手法を参考に、これまで不可能であった高次の漸近展開を導出した。Navier-Stokes流において、渦度は流速と表裏一体の関係にあるが、流速と異なり渦度のFourier表象には特異的な作用素は含まれない。したがって、渦度においては流速のような瞬時の伝播は見られず、その可積分性を初期データによってコントロール可能である。流速の式を渦度によって記述すれば、上記の背景で問題となっていた漸近展開の係数の可積分性を稼げるというのが研究の主眼である。この研究については、現在査読付き学術雑誌に投稿中である。