様々な効果を持つ非線形楕円型方程式の解構造の研究

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本年度は以下の研究テーマについて研究を行い，成果を得た．(A) L^2 ノルム正規化解の存在問題: 本テーマでは，L^2 劣臨界ケース，L^2 臨界ケース，L^2 優臨界ケースという3つの場合を取り扱った．劣臨界ケースでは昨年度までに得られていた成果を拡張し，より広い非線形反応項およびポテンシャル項を取り扱うことに成功し，正値解の存在，解の多重存在性を証明することが出来た．また，臨界ケースと優臨界ケースではポテンシャル項がない状況を考え，球対称解の存在問題を扱い，正値球対称解の存在を示すことができた．(B) 非線形反応項を伴う Born-Infeld 方程式: 本テーマでは，まず Sobolev 臨界反応項を伴う方程式を考察し，この方程式に対して非自明解が存在しないことを示すことができた．次に Sobolev 臨界反応項以外の非線形反応項を考察し，非自明解の存在問題を取り扱った．今年度の研究では，先行研究で扱われていた非線形反応項よりも一般の反応項に対し非自明解の存在と解の多重存在性を示すことに成功した．(C) パラメータに単調依存する汎関数に対する Palais-Smale 列の挙動: 本テーマではパラメータに単調依存する汎関数の族の峠の値に対し，有界な Palais-Smale 列が存在するかどうかを考察した．本年度は，峠の値に対して有界な Palais-Smale 列が全く存在しないようなパラメーターの値が可算無限個かつ有界な範囲内に留まる例を構成することに成功した．