変分法的アプローチによる非線形楕円型方程式と拡散方程式の研究

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平成２６年度は３次元閉 Riemann 多様体上における Willmore 汎関数の研究および主要部が Pucci 作用素であり冪乗型の非線型反応項を伴う完全非線型楕円型方程式に関する研究を行った．Willmore 汎関数に関する研究では，前年度までに得られていた Willmore 汎関数の展開公式を利用することにより，多様体の Ricci 曲率と scalar 曲率がある種の不等式を満たすとき，曲面積一定という制約条件を与えた下，種数が１かつ Willmore 汎関数の臨界点となる曲面(Willmore type 曲面)の存在を示した．また，Morse 理論を用いることにより，Ricci 曲率と saclar 曲率の間に課した不等式を，scalar 曲率が Morse 関数であり，その臨界点において Ricci 曲率の３つの固有値がそれぞれ相異なるという条件の下でも，種数が１である Willmore type 曲面の存在を示した．更に，Riemann 多様体の Betti 数と scalar 曲率の臨界点の情報を組み合わせることにより，種数が１である Willmore type 曲面の多重存在性に関する結果も得られた．一方，Pucci 作用素が主要部であり，冪乗型の非線型反応項を伴う完全非線型楕円型方程式に対しては，主要部が Laplacian である場合と異なり臨界点理論が使えない．そのため新しい解析方法が必要となるが，本研究では Leray-Schauder の写像度を用いるための適切な関数空間を発見した．