Toward a general thoery of statistical and stochastic fields using fermion point processes and conformally invariant SLE curves

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(1) 動的なランダム行列理論において中心的な役割を果たす確率過程であるダイソン・ブラウン運動で駆動される多重 Schramm-Loewner 発展（SLE)について、ガウス自由場との結合という観点から、越田真史氏（フィンランド、Aalto 大）と共同共同で行ってきた。その成果を、2022年8月1日－13日にドイツ、Bielefeld 大の ZIF 研究所で開催された Summer School `Randomness in Physics and Mathematics, From Integrable Probability to Disordered Systems' において講義した。世界各地から参加した大学院生やポスドクからなる聴講生たちと活発な議論を行い、また、他の講師や Bilelefeld 大の主催者（G. Akemann, F. Goetzeら）と研究打ち合わせを行った。（２）非エルミートな行列に値を持つブラウン運動の固有値と固有ベクトルの時間発展系について研究を行った。エルミートな行列に値をもつブラウン運動の場合、その固有値過程は固有ベクトル過程と独立に議論することが出来る。これがダイソン・ブラウン運動である。これに対して、非エルミートな場合には、固有ベクトルの汎関数である overlap 行列の時間発展と固有値過程とが結合する。非エルミート行列値ブラウン運動に対して定義される 正規化された Fuglede-Kadison (FK)行列式の時間発展に対して伊藤解析を適用した。FK 行列式の対数微分から、固有値や overlap 行列の対角成分の重みをもった固有値の経験分布の時間発展系を導出した。また、それらの平均値に対して偏微分方程式系を導出した。これらの結果は、Burda ら（2015）が物理学の文献で議論していたものを数学的に正当化するものである。