ネットワークの耐故障性を考慮したグラフ構造的性質に関する研究

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Mader予想とは，位数mの任意の木Tに対して，最小次数が[3k/2]+m-1以上の全てのk-連結グラフGは，G-V(T')がk-連結であるTに同型な部分木T'を含む，という命題である．この予想について，Tがパスのとき，k = 1のときは成立し，k = 2のときは部分的な肯定的結果が知られていたが，最近 k = 2,3の場合も成り立つことが示されている．本研究では，Mader予想の辺版として，次の命題を予想し，k <= 2のときには成り立つことを証明した．予想１：位数mの任意の木Tに対して，最小次数がk+m-1以上の全てのk-連結グラフ（k-辺連結グラフ）Gは，G-E(T')がk-連結（k-辺連結）であるTに同型な部分木T'を含む.実際にはより強い以下の命題を証明した．命題１：k <= 2として，位数mの任意の木Tに対して，最小次数がmax{Δ(T)+k,m-1}以上の全てのk-連結グラフ（k-辺連結グラフ）Gは，G-E(T')がk-連結（k-辺連結）であるTに同型な部分木T'を含む,ここでΔ(T)はTの最大次数を表す．また，予想１に関して，最小次数の下界を2(k+m-p)，ただしp = [(k(k+1)+(m-1)(m-4))/2n+1/2]+2，と緩和した場合には成り立つことも示した．さらに，Erdos-Sos予想とLoebl-Komlos-Sos予想の両方が正しければ，k-連結グラフに対する予想１が成り立つことも証明した．特に，この結果とこれまでに知られているErdos-Sos予想とLoebl-Komlos-Sos予想の肯定的結果から，k-連結グラフに対する予想1はTをパスに限定した場合及びGを内周が7以上と限定した場合に成立することが分かった．また，Loebl-Komlos-Sos予想が正しい場合は密なグラフでは予想１が成り立つことも証明した．