Statistical analysis of high-dimensional high-frequency data

対数凹な確率分布に従う独立同分布な確率ベクトルの和に対する高次元中心極限定理の収束レートを改善する研究を行った。共分散行列の最小固有値が下から正の定数で抑えられているような非退化な場合には、筆者が以前行った研究により、サンプル数に関する対数項を除いて次元についてもサンプル数についても最適な収束レートが達成可能であることが示されていたが(Annals of Applied Probability, 2021, vol. 31, pp 1660-1686)、本年度の研究ではその結果を共分散行列に対する制約がない場合に拡張することを試みた。結果として、スペクトルギャップに関するKannan-Lovasz-Simonovitsの予想(KLS予想)が正しければ、実際に拡張可能であることを示すことに成功した。さらに、次元がサンプル数よりも大きいような高次元のレジームでは、以前の結果では余分に得られていたサンプル数の対数項を除去できることも示すことができた。仮にKLS予想が正しくなかったとしても、現在知られているKLS予想に対する最良の評価を用いれば、得られた結果は共分散行列が退化する場合には既存の評価をサンプル数に関する収束レートについて大幅に改善している。副産物として、高次元データにおける最大値型統計量に対する正規型近似の相対誤差評価に関する評価も得られた。証明には、本年度はじめに発表されたKLS予想の進展に関する論文(arXiv:2203.15551)において示された、確率局所化に関する高精度な評価が重要な役割を果たした。

対数凹な確率分布に従う独立同分布な確率ベクトルの和に対する高次元中心極限定理の収束レートを改善する研究を行った。共分散行列の最小固有値が下から正の定数で抑えられているような非退化な場合には、筆者が以前行った研究により、サンプル数に関する対数項を除いて次元についてもサンプル数についても最適な収束レートが達成可能であることが示されていたが(Annals of Applied Probability, 2021, vol. 31, pp 1660-1686)、本年度の研究ではその結果を共分散行列に対する制約がない場合に拡張することを試みた。結果として、スペクトルギャップに関するKannan-Lovasz-Simonovitsの予想(KLS予想)が正しければ、実際に拡張可能であることを示すことに成功した。さらに、次元がサンプル数よりも大きいような高次元のレジームでは、以前の結果では余分に得られていたサンプル数の対数項を除去できることも示すことができた。仮にKLS予想が正しくなかったとしても、現在知られているKLS予想に対する最良の評価を用いれば、得られた結果は共分散行列が退化する場合には既存の評価をサンプル数に関する収束レートについて大幅に改善している。副産物として、高次元データにおける最大値型統計量に対する正規型近似の相対誤差評価に関する評価も得られた。証明には、本年度はじめに発表されたKLS予想の進展に関する論文(arXiv:2203.15551)において示された、確率局所化に関する高精度な評価が重要な役割を果たした。