変異による傾理論の一般化と新展開

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本研究の主な目的は、多元環に付随する三角圏（導来圏、特異圏、安定圏など）を具体的な方法により解析することである。ここでは特に、導来同値をコントロールしている準傾対象に注目し、与えられた準傾対象から新しい準傾対象を構成するための準傾変異を考える。これにより、様々な計算を線型代数的手法や組み合わせ的手法に帰着させることができる。（準傾変異理論）この準傾変異理論における大きな問題は「準傾対象の豊富性問題」である。つまり、準傾対象が準傾変異によってすべて記述しきれるのか・記述しきれないほど多く存在するのかという問題である。準傾変異によってすべての準傾対象を記述できるとき、「準傾連結性を満たす」といい、準傾対象が（本質的に）有限個となるとき、「準傾離散性を満たす」という。本研究では主に、いつ準傾連結性・準傾離散性を満たすかを解明することを目標とする。令和４年度は特に、「準傾離散性はいつ遺伝されるか」という問いについて研究を行った。例えば、三角圏同値（導来同値）はいつでも準傾離散性を保存し、また、準傾離散な多元環への局所環のテンソルでも準傾離散性が保たれることが知られている。さらに、今年度の研究によって、１：準傾離散な三角圏の充満部分圏、２：準傾還元に付随するdg多元環へも準傾離散性が遺伝することがわかった。これにより、１’：べき等元による切断、２’：階層化べき等元による剰余環に対しても準傾離散性が保存されることがわかった。これらの主結果により、様々な新しい準傾離散な多元環を発見し、さらに、単連結多元環のテンソルが準傾連結性を満たす条件を完全に分類した。また、有限表現型の自己入射的多元環が必ずしも準傾離散性を満たすわけではないことを理解することができた。