正標数の代数多様体のp-進的性質と代数幾何学的性質についての研究

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本年度も主に，河上龍郎氏， 高松哲平氏，田中公氏,吉川翔氏とJakub Witaszek氏と共同で準F-分裂性の研究に取り組んだ． 準F-分裂性は，正標数の可換環論や代数幾何学などで盛んに研究されてきたF-分裂性という概念を拡張したものである．この共同研究では，準F-分裂性の双有理幾何学的側面について研究を行った．特に双有理幾何学において現れる特異点との関連性について研究を行った．指針となる先行研究は，Hacon-Xuによる標数7以上の場合の3次元MMPの解決であり，その際決定的であった事実は，2次元klt特異点が標数7以上においてF-分裂であるという結果である．以上を踏まえて，本年度は以下の結果を得た: (1)2次元のklt特異点が全ての標数で準F-分裂であることを示した．(2)3次元のklt特異点が標数が42より大きい時，準F-分裂であることを示した．またこの主張が標数41では成り立たないことを，反例を構成することで示した．以上の結果は2本のプレプリントとして公表し，学術誌に投稿中である．今後の主な課題は，準F-分裂性とlog canonicalとの関係の解明や，F-正則性を拡張した準F-正則性を導入しその性質を研究することである．また準F-分裂性とHodge-Witt性の(幾分予想外の)類似性を発見した．Hodge-Witt性とはde Rham-Witt複体を構成する層のコホモロジーの有限性で定義される，p-進コホモロジー論において導入された概念である．この概念の多様体の積に関する振る舞いに関するEkedahlの結果の類似が準F-分裂性に対して成り立つことがわかった．この結果は現在論文として執筆中である．またprismaticコホモロジー論とF-分裂理論との関係を明確にするため，いくつかの観点から考察した．特にFrobenius-Witt微分とF-分裂性についていくつかの結果を得た．