Ｓｕｐｅｒｓｉｎｇｕｌａｒアーベル多様体のｍａｓｓ公式に関する研究

今年度の研究内容について述べる前に、昨年度得られた結果について簡単に述べることにする。昨年度、正標数の代数多様体の変形理論へ応用するために、フロベニウス分裂性を定量化したフロベニウス分裂高さという概念を導入し、準フロベニウス分裂多様体を定義した。昨年度の主な成果の一つは、カラビヤウ多様体に対して、フロベニウス分裂高さとArtin-Mazur高さが一致することを示したことである。本年度の研究内容は大きく三つに分けられる。一つ目は、この新たに定義されたフロベニウス分裂高さ及び準フロベニウス分裂性の性質を研究することである。本年度はこの方針のもとで、準フロベニウス分裂多様体上の豊富な直線束の１次以上のコホモロジーが消滅することを示した。この性質はMehtaとRamanathanがフロベニウス分裂性を導入した動機であった。またエンリケス曲面のフロベニウス分裂高さを計算した。本年度の研究の二つ目は、特異点論との関連を研究することである。特にフロベニウス分裂性に関するFedderの判定法をフロベニウス分裂高さに対して拡張することを試みたが、満足のいく結果は得られなかった。フロベニウス分裂高さにはWitt環の理論が密接に関係しているが、Witt環のイデアルをコントロールすることが難しく、このことにより判定法の構成が格段に困難になっている。この点については来年度以降の研究課題である。研究の三つ目は３次元カラビヤウ多様体の変形理論、特に正標数のカラビヤウ多様体の標数０への持ち上げ可能性についてである。この問題について見識を深めるため、１０月４日から１８日まで、この分野において先駆的な業績があるドイツ、デュッセルドルフ大学のStefan Schroeer教授の元に滞在し議論を重ねた。

今年度の研究内容について述べる前に、昨年度得られた結果について簡単に述べることにする。昨年度、正標数の代数多様体の変形理論へ応用するために、フロベニウス分裂性を定量化したフロベニウス分裂高さという概念を導入し、準フロベニウス分裂多様体を定義した。昨年度の主な成果の一つは、カラビヤウ多様体に対して、フロベニウス分裂高さとArtin-Mazur高さが一致することを示したことである。本年度の研究内容は大きく三つに分けられる。一つ目は、この新たに定義されたフロベニウス分裂高さ及び準フロベニウス分裂性の性質を研究することである。本年度はこの方針のもとで、準フロベニウス分裂多様体上の豊富な直線束の１次以上のコホモロジーが消滅することを示した。この性質はMehtaとRamanathanがフロベニウス分裂性を導入した動機であった。またエンリケス曲面のフロベニウス分裂高さを計算した。本年度の研究の二つ目は、特異点論との関連を研究することである。特にフロベニウス分裂性に関するFedderの判定法をフロベニウス分裂高さに対して拡張することを試みたが、満足のいく結果は得られなかった。フロベニウス分裂高さにはWitt環の理論が密接に関係しているが、Witt環のイデアルをコントロールすることが難しく、このことにより判定法の構成が格段に困難になっている。この点については来年度以降の研究課題である。研究の三つ目は３次元カラビヤウ多様体の変形理論、特に正標数のカラビヤウ多様体の標数０への持ち上げ可能性についてである。この問題について見識を深めるため、１０月４日から１８日まで、この分野において先駆的な業績があるドイツ、デュッセルドルフ大学のStefan Schroeer教授の元に滞在し議論を重ねた。