Correspondence between non-commutative probability, probability and univalent function theories

正規分布のfree Levy measure に対する漸近的解析を行なった．正規分布は確率論において基本的分布であることは周知の事実であるが，自由確率論においてはさほど注目すべき役割を担っていない．それにも関わらず，自由無限分解可能であったり，より強く自由自己分解可能といった，ある種の自由確率論的に自然な性質を持っている．この研究により自由確率論における正規分布の理解がさらに進んだと言える．Cyclic monotone independenceと呼ばれるランダム行列のサイズ無限大極限に現れる新しい独立性に対して，ヒルベルト空間のテンソル積を用いた解釈を与えた．さらに（ランダムでない）グラフの隣接行列の固有値解析へ応用を与えた．2010年ごろに書いてから未出版のままになっていたプレプリントの結果が最近になってランダム行列の解析に応用されるといった思わぬ展開もあり，これを機に本格的に改訂を行なった．以前に，Loewner chainと加法過程，非可換確率過程の対応関係の研究において，確率分布の族に対する「広義一様弱収束」概念を導入した．この収束概念についてさらなる解析をし，また応用として，加法過程の広義一様弱収束の特徴付けを行った．個体数変化の確率モデルに分枝過程と呼ばれるものがある．複素関数論の中で古典的なツールとして知られるLoewner chainを用いて分枝過程を解析した．複素関数論を用いた新しい分枝過程の数学解析の手法を提供できたものと考えている．Loewner chainはこれまで，複素関数論への応用の他は，SLE理論への華々しい応用が見出されていたが，今回の研究により，確率論への新たな応用を見出すことができた．以上の研究結果は，いずれも既に論文として出版済みまたはプレプリントとして公開されている．

正規分布のfree Levy measure に対する漸近的解析を行なった．正規分布は確率論において基本的分布であることは周知の事実であるが，自由確率論においてはさほど注目すべき役割を担っていない．それにも関わらず，自由無限分解可能であったり，より強く自由自己分解可能といった，ある種の自由確率論的に自然な性質を持っている．この研究により自由確率論における正規分布の理解がさらに進んだと言える．Cyclic monotone independenceと呼ばれるランダム行列のサイズ無限大極限に現れる新しい独立性に対して，ヒルベルト空間のテンソル積を用いた解釈を与えた．さらに（ランダムでない）グラフの隣接行列の固有値解析へ応用を与えた．2010年ごろに書いてから未出版のままになっていたプレプリントの結果が最近になってランダム行列の解析に応用されるといった思わぬ展開もあり，これを機に本格的に改訂を行なった．以前に，Loewner chainと加法過程，非可換確率過程の対応関係の研究において，確率分布の族に対する「広義一様弱収束」概念を導入した．この収束概念についてさらなる解析をし，また応用として，加法過程の広義一様弱収束の特徴付けを行った．個体数変化の確率モデルに分枝過程と呼ばれるものがある．複素関数論の中で古典的なツールとして知られるLoewner chainを用いて分枝過程を解析した．複素関数論を用いた新しい分枝過程の数学解析の手法を提供できたものと考えている．Loewner chainはこれまで，複素関数論への応用の他は，SLE理論への華々しい応用が見出されていたが，今回の研究により，確率論への新たな応用を見出すことができた．以上の研究結果は，いずれも既に論文として出版済みまたはプレプリントとして公開されている．