Hausdorff容量を用いた関数空間の研究

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本研究は荷重付きHausdorff容量による種々の関数空間を研究することが目的であるが，令和4年度における研究により以下の成果を得た．Hausdorff容量を原料に弱L^p空間はShilkret積分の形で定義できる．これを弱Choquet空間と呼ぶ．AdamsやOrobitg-Verderaの極大関数の有界性に関する結果は，強Choquet空間から弱Choquet空間への有界性と理解することができる．東海大学の古谷氏による最近の研究によれば，Lebesgue空間の場合にはKolmogorovの不等式を利用することで，弱空間から弱空間へ有界となることがわかる．この結果は荷重理論にまで拡張された．この知見をもとに，応募者は中央大学の波多野氏と川澄氏との共同研究によって，古谷氏の結果をHausdorff容量による弱Choquet空間に拡張できることを証明した．さらに，この結果は分数冪極大関数に対しても成り立つことも示した．Kolomogorov型の不等式は精密に議論することで，Choquet-Morrey空間へと議論を持ち上げることができる．上記の結果と同様な結果として，分数冪極大関数がChoquet-Morrey空間上で有界となることを示した．現在この論文を執筆中であり，近日中に発表予定である．この研究計画をさらに推し進めると，分数冪積分作用素を含むHolder型不等式がMorrey空間で成り立つことを主張するOlsenの不等式が，Choquet-Morrey空間でも成り立つか，という問題意識が生じる．現在はこの問題を進行させている．