Finite element methods for nonlinear partial differential equations on curved domains

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今年度は，なめらかな領域における非定常Stokes方程式，および抽象発展方程式に対する不連続Galerkin法による時間離散化について研究し，一定の成果を得た．Stokes方程式とは，流体力学に現れる偏微分方程式であり，Navier--Stokes方程式の線形化問題として知られている．この方程式を有限要素法によって離散化した問題に対し，リゾルベント評価と最大正則性と呼ばれる不等式評価について研究した．これらの不等式は，これまで知られていなかった評価である．これらの成果は，対応する非線形問題であるNavier--Stokes方程式に対する数値解析へ応用できると期待される．得られた成果は論文として投稿し，現在査読中である．不連続Galerkin法による時間離散化法とは，時間発展する偏微分方程式に対して，時間変数に関するGalerkin法に基づく離散化手法であり，高次精度化が容易な手法である．特に，放物型方程式に対して適用されることが多い手法である．この手法に対して，最大値ノルムによる誤差評価と，離散版の最大正則性の不等式評価を得た．類似の評価はこれまでにも知られていたが，我々が得た評価は，これまで知られていた評価よりもよりシャープな (かつbest possibleな) 評価となっている．今後，非線形偏微分方程式に対する数値解析へ応用できると期待される．この成果については現在論文執筆中である．