離散最大正則性とその有限要素法・有限体積法への応用

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放物型方程式に対する最大正則性と呼ばれる性質の離散化とその応用について研究している．最大正則性とは，古くから放物型方程式の解析に用いられている解析半群という枠組みと比べて強い性質であり，非線形方程式の解析において広く用いられている．本年度は，解析半群に関連する話題に着手し，いくつか成果を得ることができた.まず取り扱ったのは，線形放物型方程式において解が有界となる場合に．有限要素法により誤差が時間発展に伴ってどの程度拡大するのか，という点について考察した．その結果，解析半群の枠組みで解析することで，誤差は拡大せず，有界な範囲に留まる，ということがわかった．次に取り組んだのは，Allen-Cahn方程式と呼ばれる，ある種の界面の運動を記述する偏微分方程式に関する数値解析である．この問題は，界面の幅に対応するパラメータを持ち，そのパラメータに対して数値計算におけるメッシュのサイズを十分に小さく取らなければ，数値計算がうまくいかない，ということが経験的に知られていた．しかしながら，あまりに細かなメッシュでは，現実的な時間内での計算ができない可能性がある．そこで「どの程度までメッシュを粗くしてよいのか」という問題に取り組み，「これ以上メッシュを粗くした場合には計算がうまくいかない」という，ある種の必要条件を理論的に導いた．この成果も上述の成果と同様に，解析半群の枠組みによるものである．最後に，不連続Galerkin法による時間離散化手法 (以下，DG法) について研究した．この手法は差分法のある種の一般化であることが知られており，移動境界問題の数値計算などに広く用いられている．本年度はDG法に現れるある有理関数に対する詳細な評価を計算した．その結果，誤差評価に関して，これまで知られていた評価よりも精密な誤差評価が得られるということがわかった．