Approximation of Kähler manifolds

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Auf Kodaira geht das Problem zurück, ob man eine kompakte Kählermannigfaltigkeit durch projektive Varietäten approximieren kann. Für Flächen ist dies möglich.Voisin hat jedoch gezeigt, dass das in höheren Dimensionen (mindestens 4) i.a nicht mehr möglich ist. Außerdem gibt es Beispiele, die nicht einmal ein geeignetes birationales Modell besitzen, welches approximierbar ist.Im Lichte der Moritheorie sind gute Modelle jedoch sehr oft singulär mit terminalen oder kanonischen Singularitäten. Daher stellt die Frage, ob Kodairas ursprüngliches Problem eine positive Antwort hat, wenn man es erlaubt, die kompakte Kählermannigfaltigkeit durch ein geeignetes evtl. singuläres Modell zu ersetzen. Ebenso stellt sich die Frage, was in Dimension 3 passiert.