準線形楕円型偏微分方程式の解構造への変分的アプローチ

拟线性椭圆偏微分方程解结构的变分法

• 批准号: 18K03362
• 负责人: 足達 慎二
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Shizuoka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18K03362/
• 关键词: 半線形楕円型方程式; 正値解の存在; 漸近挙動; 半線形楕円型方程式の可解性; 増大度条件; アプリオリ評価; 楕円型方程式の可解性; 特異摂動問題; 準線形楕円型偏微分方程式; 漸近解析; 正値解; 一意性; 準線形楕円型方程式; 変分解析; 楕円型偏微分方程式; 準線形方程式; 軌道安定性

今年度は半線形楕円型方程式の正値解の存在とその漸近挙動について研究を行った。特に非線形項に対して無限遠方での増大度条件を全く課さずに原点付近での局所的な優線形性のみを課したシュレディンガー型の半線形楕円型方程式の正値解の存在とその漸近挙動について，変分的アプローチを用いて解析を行った。前年度はこのような半線形楕円型方程式に対して，ポテンシャルに有限群作用に関する不変性を仮定した。一方，今年度は正値解の漸近挙動まで踏み込んだ変分解析を行うために，ポテンシャルに対してトラッピング型の仮定を課し，結果として通常の特異摂動問題とは異なる興味深い漸近挙動を示すことができた。本研究において重要な鍵となるものは正値解のアプリオリ評価である。本研究では群作用不変ポテンシャルの場合について示したような明示的なアプリオリ評価までは得られなかったものの，正値解の上限が方程式に含まれるパラメータに依存して任意に小さくなることを示すことができ，これにより，正値解を適切に自己相似変換した関数の漸近的プロファイルを解明することができた。ここで得られた正値解のアプリオリ評価は準線形楕円型方程式の正値解の構成に繋がり，双対アプローチを直接適用できないタイプの準線形楕円型方程式の変分解析に弾みをつけるものである。また，前年度から研究を続けていた有限群作用不変ポテンシャルの場合についても，可解性に関するより強い結果を得ることができた。特に空間１次元での可解性を初めて示すことできた。

This paper studies the existence of positive solutions for semi-linear equations and their asymptotic behavior. The existence of positive solutions to nonlinear equations of semi-linear type with respect to infinite distance under increasing degree conditions, the existence of asymptotic solutions, and the existence of analytic solutions for nonlinear equations close to the origin. In the past, the semi-linear equation was determined by finite group interaction. On the one hand, this year's positive solution to the asymptotic movement of the step, the analysis of the line, the classification of the class, the determination of the class, the results of the usual special "dynamic problem" is different, interesting, deep in the asymptotic movement of the show. This study focuses on the importance of the solution to the problem. In this study, the upper bound of the positive solution equation is contained in the dependence of the group action on the group action, and the upper bound of the positive solution equation is contained in the dependence of the group action on the group action. Because of the complexity of the positive value solution and the composition of the positive value solution of the quasi-linear Yen-type equation, the dual pairs of positive solutions can be directly applied to the variable analysis of the quasi-linear Yen-type equation. In the previous year, the finite group effect was not found in the case of solvable problems. Special space 1 dimensional solvable first time show

项目成果

G-invariant positive solutions for some semilinear elliptic equations and their applications

一些半线性椭圆方程的G不变正解及其应用

• 发表时间: 2019
• 作者: 若狭 徹;宮本 安人;竹村 春希;会沢 修也;Ueda Yoshihiro;柴山允瑠;Shinji Adachi
• 通讯作者: Shinji Adachi

局所的優線形な非線形楕円型方程式の正値解の存在と漸近挙動について

局部优越线性非线性椭圆方程正解的存在性及渐近行为

• 发表时间: 2022
• 作者: 足達慎二

Asymptotic property of ground states for a class of quasilinear Schrodinger equation with H^1-critical growth

一类具有H^1临界增长的拟线性薛定谔方程的基态渐近性质

• DOI: 10.1007/s00526-019-1527-y
• 发表时间: 2019
• 期刊: Calculus of Variations and Partial Differential Equations
• 影响因子: 2.1
• 作者: Adachi Shinji;Shibata Masataka;Watanabe Tatsuya
• 通讯作者: Watanabe Tatsuya

半線形楕円型方程式の正値解の存在について

关于半线性椭圆方程正解的存在性

• 发表时间: 2021
• 作者: Bertsch Michiel;Hilhorst Danielle;Izuhara Hirofumi;Mimura Masayasu;Wakasa Tohru;K. Tomiyasu and K. Horigane;柴山允瑠，東浜有輝;足達慎二
• 通讯作者: 足達慎二

A note on the uniqueness and non-degeneracy of positive radial solutions for semilinear elliptic problems and its application

半线性椭圆问题径向正解唯一性和非简并性的注记及其应用

• 发表时间: 2018
• 期刊: Acta Mathematica Scientia
• 影响因子: 1
• 作者: Shinji Adachi;Masataka Shibata;Tatsuya Watanabe
• 通讯作者: Tatsuya Watanabe