準線形楕円型偏微分方程式の解構造への変分的アプローチ

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今年度は半線形楕円型方程式の正値解の存在とその漸近挙動について研究を行った。特に非線形項に対して無限遠方での増大度条件を全く課さずに原点付近での局所的な優線形性のみを課したシュレディンガー型の半線形楕円型方程式の正値解の存在とその漸近挙動について，変分的アプローチを用いて解析を行った。前年度はこのような半線形楕円型方程式に対して，ポテンシャルに有限群作用に関する不変性を仮定した。一方，今年度は正値解の漸近挙動まで踏み込んだ変分解析を行うために，ポテンシャルに対してトラッピング型の仮定を課し，結果として通常の特異摂動問題とは異なる興味深い漸近挙動を示すことができた。本研究において重要な鍵となるものは正値解のアプリオリ評価である。本研究では群作用不変ポテンシャルの場合について示したような明示的なアプリオリ評価までは得られなかったものの，正値解の上限が方程式に含まれるパラメータに依存して任意に小さくなることを示すことができ，これにより，正値解を適切に自己相似変換した関数の漸近的プロファイルを解明することができた。ここで得られた正値解のアプリオリ評価は準線形楕円型方程式の正値解の構成に繋がり，双対アプローチを直接適用できないタイプの準線形楕円型方程式の変分解析に弾みをつけるものである。また，前年度から研究を続けていた有限群作用不変ポテンシャルの場合についても，可解性に関するより強い結果を得ることができた。特に空間１次元での可解性を初めて示すことできた。