非線形放物型方程式に内在する非自己相似的特異性の分類

今年度は昨年度に引き続き、球面に値をとる調和写像流方程式の解の考察を行い、いくつかの結果の改良を行った。従来の研究ではいわゆる藤田方程式と呼ばれる半線形熱方程式との数学的な類似が明らかにされてきたが、非線形構造が単純なべき乗型とはならないため、凸不等式が使えない等の技術的に困難な点が多い。そこで本研究ではいくつかの特徴的な良い性質をもつ解の典型例を構成し、一般の場合はそれらの典型例と一般の爆発解との交点数を比べることで様々な解の定量的性質を明らかにした。球面を地球の表面と見た場合、赤道にあたる調和写像が特異性構造の重要な鍵であることが典型例に対しては知られていたが、これが一般の解に対してもやはり重要な役割を果たすことが明らかになった。特に１次元放物型方程式に対する零点数定理を適切に用いることで一般の爆発解に対して予想される鍵となる性質を確かめることができた。予算の最終年度再延長が認められたので、さらなる改良が得られてから論文発表を行うことにした。これらの研究に加え、反発及び吸引効果をもつ走化性方程式系に対して関連する研究を行い、空間次元が３以上の場合の状況が徐々に明らかにすることができた。

今年度は昨年度に引き続き、球面に値をとる調和写像流方程式の解の考察を行い、いくつかの結果の改良を行った。従来の研究ではいわゆる藤田方程式と呼ばれる半線形熱方程式との数学的な類似が明らかにされてきたが、非線形構造が単純なべき乗型とはならないため、凸不等式が使えない等の技術的に困難な点が多い。そこで本研究ではいくつかの特徴的な良い性質をもつ解の典型例を構成し、一般の場合はそれらの典型例と一般の爆発解との交点数を比べることで様々な解の定量的性質を明らかにした。球面を地球の表面と見た場合、赤道にあたる調和写像が特異性構造の重要な鍵であることが典型例に対しては知られていたが、これが一般の解に対してもやはり重要な役割を果たすことが明らかになった。特に１次元放物型方程式に対する零点数定理を適切に用いることで一般の爆発解に対して予想される鍵となる性質を確かめることができた。予算の最終年度再延長が認められたので、さらなる改良が得られてから論文発表を行うことにした。これらの研究に加え、反発及び吸引効果をもつ走化性方程式系に対して関連する研究を行い、空間次元が３以上の場合の状況が徐々に明らかにすることができた。